Momentos mixtos de mínimos de exponenciales i.i.d.

Question

Dejemos que $T_1,T_2,T_3,\ldots$ ser i.i.d. $\exp(1)$ variables aleatorias (es decir, exponenciales con parámetro $1$ ).

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Haciendo cálculos explícitos, se puede demostrar que $$E[\min\{T_1,T_2\}\min\{T_2,T_3\}]=\frac13>\frac14=E[\min\{T_1,T_2\}\min\{T_3,T_4\}],$$ y que \begin{align} &E[\min\{T_1,T_2,T_3\}\min\{T_2,T_3,T_4\}]=1/6\\ >&E[\min\{T_1,T_2,T_3\}\min\{T_3,T_4,T_5\}]=2/15\\ >&E[\min\{T_1,T_2,T_3\}\min\{T_4,T_5,T_6\}]=1/9. \end{align}

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Cálculos similares sugieren que las mismas desigualdades se mantienen para momentos mayores, es decir, $$E[\min\{T_1,T_2\}^m\min\{T_2,T_3\}^n]>E[\min\{T_1,T_2\}^m\min\{T_3,T_4\}^n],\qquad m,n\in\mathbb N$$

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Basándose en estos cálculos, el principio general parece ser que cuando se observan momentos mixtos en estos mínimos de exponenciales independientes (que son a su vez exponenciales), cuanto más $T_i$ 's que tienen en común, más altos serán los momentos.

Sin embargo, no encuentro un argumento conceptual (si es que lo hay) para demostrar algo así que sea más esclarecedor que los cálculos directos.

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Edición: aquí hay una declaración formal de lo que creo que es cierto:

Dejemos que $p\in\mathbb N$ y considerar los conjuntos de índices \begin{align} I&=\{i_1,i_2,\ldots,i_p\}\qquad J=\{j_1,j_2,\ldots,j_p\}\\ K&=\{k_1,k_2,\ldots,k_p\}\qquad L=\{\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_p\}. \end{align} Si $|I\cap J|>|K\cap L|$ entonces $$E[\min\{T_i:i\in I\}^m\min\{T_j:j\in J\}^n]>E[\min\{T_k:k\in K\}^m\min\{T_\ell:\ell\in L\}^n]$$ para todos $m,n\in\mathbb N$ .

Answer 1

La conjetura es cierta, incluso en una forma "conceptual" más fuerte.

Dejemos que $(X_n,n\ge 1)$ sean variables aleatorias iid, $I,J,K,L\subset \mathbb{N}$ sea tal que $|I|=|K|=n, |J|=|L|=m$ , $|K\cap L|<|I\cap J|$ . Dejemos también $f\colon \mathbb R^{n}\to \mathbb R$ , $g\colon \mathbb R^{m}\to \mathbb R$ sean funciones simétricas medibles, no decrecientes en todas las variables. Entonces $$ \mathrm{E} [f(X_i,i\in K)g(X_j,j\in L)]\le \mathrm{E} [f(X_i,i\in I)g(X_j,j\in J)] $$ con la igualdad posible sólo en el caso de que $f$ o $g$ es constante en el soporte de $X$ .

Boceto Supongamos sin pérdida de generalidad que $\{1,\dots,l\}=K\cap L \subset I\cap J = \{1,\dots,k\}$ . Por inducción, basta con demostrar la afirmación cuando $l=k-1$ . WLOG $k\in K$ , $k+1\in L$ .

Arreglar la primera $k-1$ e integrar sobre todas las variables con índices mayores que $k+1$ . Entonces la desigualdad se reduce a: para cualquier $a\in \mathbb{R}^k$ , $$ \mathrm{E} [f_1(a,X_k)g_1(a,X_{k+1})] = \mathrm{E} [f_1(a,X_k)]\mathrm{E} [g_1(a,X_{k+1})] \le \mathrm{E}[f_1(a,X_k)g_1(a,X_k)],\tag{1} $$ donde para $a\in\mathbb{R}^{k-1},x\in\mathbb{R}$ $$ f_1(a,x) = \mathrm{E}[f(a,x,X_1,\dots,X_{n-k})], g_1(a,x) = \mathrm{E}[g(a,x,X_1,\dots,X_{m-k})]. $$ La desigualdad (1) es bien conocida, véase aquí . Sustituyendo $a = (X_1,\dots,X_{k-1})$ y tomando la expectativa, obtenemos la desigualdad requerida.

La afirmación sobre la igualdad se deduce de una afirmación similar para la desigualdad bajo el enlace.