Desigualdad para la función gamma incompleta

Question

Intento averiguar si la siguiente desigualdad es correcta o no

\begin {align} f_a(x) \le f_b(x), \forall x \in \mathbb {R} \end {align} para $0<a\le b$ , donde \begin {align} f_a(x)= \frac { \gamma \left ( \frac {1}{a}, \frac {|x|^a}{2} \right )}{ \Gamma \left ( \frac {1}{a} \right )}, \end {align}

y donde las funciones gamma se definen como sigue \begin {align} \Gamma\left (x \right )= \int_0 ^ \infty t^{x-1} e^{-t} dt, \\ \gamma (x,s) = \int_0 ^s t^{x-1}\\N, e^{-t}\N, dt. \end {align}

He probado a hacer alguna simulación y parece que esta desigualdad se mantiene. Sin embargo, no puedo demostrarlo.

Esta desigualdad también puede verse como un resultado de monotonicidad en términos de una variable $a$ para $f_a(x)$ .

Simulación, los resultados parecen sugerir que la desigualdad es cierta, véase la figura siguiente (en la figura el eje x es $x$ ).

Gracias.

Answer 1

Podemos suponer que WLOG $x>0$ y considerar que:

$$ f_a(x) = \frac{\int_{0}^{x^a/2}t^{1/a-1}e^{-t}\,dt}{\int_{0}^{+\infty}t^{1/a-1}e^{-t}\,dt}=\frac{\int_{0}^{x}e^{-t^a/2}\,dt}{\int_{0}^{+\infty}e^{-t^a/2}\,dt}$$ por lo que la desigualdad $f_a\leq f_b$ se reduce a: $$ \int_{0}^{x}e^{-t^a/2} dt \int_{0}^{+\infty} e^{-s^b/2}\,ds \leq \int_{0}^{x} e^{-s^b/2}\,ds \int_{0}^{+\infty}e^{-t^a/2}\,dt $$ o a: $$ \int_{0}^{x}\int_{0}^{+\infty}\exp\left(-\frac{t^a+s^b}{2}\right)\,ds\,dt \leq \int_{0}^{x}\int_{0}^{+\infty}\exp\left(-\frac{t^a+s^b}{2}\right)\,dt\,ds $$ que es trivial debido a la monotonicidad del argumento de la exponencial y a la transformación $(s,t)\mapsto (t,s)$ .