Grupo Fundamental de la arena del reloj

Question

He calculado que el grupo fundamental de la siguiente figura con la topología usual:

La figura corresponde al conjunto:

$X = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}_3:x^2+y^2 = z^2,|z| \le 1\} \cup \{(-1,0,z):|z| \le 1\} \cup \{(1,0,z):|z| \le 1\}$

Y he obtenido que es la trivial grupo el uso de Seifert-Van Kampen teorema. Sin embargo, otros dicen que es el grupo con dos generadores.

Mi solución

Yo, básicamente, tomó como abrir establece una de las líneas con un cono y un mini cono. De esa manera tengo que abrir, trayectoria-conectado-establece con la hipótesis de Seifert-Van Kampen.

Answer 1

Así que mi amigo estaba en lo cierto el principal problema con mi solución fue que los conjuntos no están abiertas:

En la imagen he quitado el punto de intersección entre el segmento y la parte superior de la circunferencia. El resto de los puntos del conjunto abierto en la topología inducida por debe ser de barrio de toda su punto, pero intuitivamente barrios cerca de los excluidos punto debe contener.

En su lugar, una vez que se deben aplicar de Seifert-Van Kampen teorema mediante la eliminación de los puntos de un segmento y una circunferencia. Entonces uno debe deformar la figura en un cono con un bucle de entrar en él. Entonces se deduce que el grupo fundamental debe tener dos generadores.

Estoy contento con esta solución (no tan feliz con el conjunto abierto de cosas), pero lo importante es que he aprendido la intuición para calcular el grupo fundamental . Aquí usted puede tener dos bucles en la figura, que van desde el segmento de los conos y de vuelta para el segmento. Esto son "esencialmente" los dos únicos lazos que uno puede tener.

Answer 2

Otra posible solución es el aviso que usted puede deformar la arena del reloj en una figura de ocho, que inmediatamente da el resultado.

Escribir un explícito (secuencia) de deformación(s) es una forma fácil, sino más bien aburrida.