Cómo demostrar que la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty {\sin^2n} $ diverge

Question

Quiero utilizar una prueba de divergencia para demostrar que $\lim_{n\to \infty} \sin^2n$ no converge. Así que $\sum_{i=1}^\infty \sin^2 n $ divergir. Pero como $\pi$ es un número irracional. Así que no puedo usar la subsecuencia con $n=n\pi$ y $n=\frac{(2n-1)\pi}{2}$ . Entonces, ¿cómo puedo demostrar que la suma es divergente?

Donde $n \in \Bbb{N}$

Answer 1

Lema. Si $\lvert \sin x\rvert<1/4$ entonces $\lvert \sin (x+1)\rvert>1/4$ .

Prueba. Observe que $\frac{\pi}{4}<1<\frac{\pi}{3}$ y por lo tanto $\sin 1>\frac{\sqrt{2}}{2}$ . También, $\lvert \cos x\rvert>\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{15}{16}}$ . Por lo tanto, $$ \lvert \sin(x+1)\rvert\ge \lvert \sin 1\cos x\rvert-\lvert \sin x\cos 1\rvert \\ \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{15}}{4}-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{30}}{8}-\frac{1}{4}>\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4} . $$ Esto implica que $\{\sin n\}$ NO converge a cero, ya que si $\sin n\to 0$ y, a continuación, finalmente $\lvert \sin n\rvert<1/4$ para todos $n\ge n_0$ para algunos $n_0\in\mathbb N$ . Pero el lema anterior demuestra que esto es imposible.

Eso significa que $\sin n\not\to 0$ entonces también $\sin^2 n\not\to 0$ y por lo tanto la serie $\sum \sin^2 n$ no puede converger.

Answer 2

Es algo como lo que sugeriste. Considera que es arbitrario $n$ . Entonces, si $|sin(n)|<{1\over\sqrt{2}}$ entonces $n \in (\pi k -{\pi \over 4}, \pi k + {\pi \over 4})$ para algunos $k$ . Por lo tanto, $n+1$ o $n+2$ en el intervalo $(\pi k + {\pi \over 4}, \pi k + {3\pi \over 4})$ y $max\{|\sin(n+1)|,|\sin(n+2)|\} \ge {1 \over \sqrt{2}}$ . Acabamos de demostrar que por cada $n$ $\max\{\sin^2(n),\sin^2(n+1),\sin^2(n+2)\}\ge{1\over2}$ .

Así que hay una secuencia $\{n_k\}$ tal que $\sin^2(n_k) \ge {1\over2}$ y $n_k \to \infty$ . Obviamente $\sum\limits_{n=1}^{\infty} sin^2(n) \ge \sum\limits_{k=1}^{\infty} sin^2(n_k) \ge \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1\over2} = \infty$

Answer 3

Considere la siguiente secuencia de números enteros: $$ m_k = \left\lfloor\frac{\pi}{2}\right\rfloor +\left\lfloor2\pi\cdot 10^k\right\rfloor. $$ Uno puede ver eso como $$ \lim_{k\to\infty}\left(2\pi\cdot 10^k - \left\lfloor2\pi\cdot 10^k\right\rfloor\right) = 0$$ conseguimos que $$ \lim_{k\to\infty}\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi\cdot 10^k - m_k\right) = \frac{\pi}{2} - \left\lfloor\frac{\pi}{2}\right\rfloor $$ que sigue $$ \lim_{k\to\infty}\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi\cdot 10^k - m_k\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left\lfloor\frac{\pi}{2}\right\rfloor\right) $$ o $$ \lim_{k\to\infty}\cos m_k = \cos\left\lfloor\frac{\pi}{2}\right\rfloor \Rightarrow \lim_{k\to\infty}\sin m_k = \sin\left\lfloor\frac{\pi}{2}\right\rfloor > 0. $$ Por lo tanto, la subsecuencia $\sin(m_k)$ converge a un número distinto de cero y lo mismo ocurre con la subsecuencia $\sin^2(m_k)$ por lo que toda la suma diverge.

Answer 4

Si $\{\sin^2n\}$ converge a $0$ entonces también lo hace $\{\sin n\}$ . Pero $\{\sin n\}$ diverge como se muestra en esta pregunta de MSE .