Hay un ejemplo interesante de pseudo-Riemann colector de otros que el espacio-tiempo del colector?

Question

Las 4 dimensiones de espacio-tiempo colector es un típico ejemplo de pseudo-Riemann colector. Hay otros matemáticamente o físicamente ejemplo interesante de ello?

Answer 1

Una Mentira grupo $G$ actúa sobre sí mismo, tanto por la izquierda (traducción de la multiplicación del grupo de la izquierda) y por derecho (traducción de la multiplicación del grupo de la derecha). Por lo tanto, es natural que se busque de Riemann métricas que son bi-invariante, es decir, que hacen que tanto la izquierda de la traducción y la traducción correcta por un elemento de grupo en isometrías. Sin embargo, hay una folclórica resultado que $G$ admite un bi-invariante de la métrica de Riemann si y sólo si $G \cong H \times K$ $H$ compacto y $K$ abelian, lo que significa que, por ejemplo, que la no-compacto simple Mentira grupo $$ SL(2,\mathbb{R}) := \{A \en M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1\} $$ no admite ninguna bi-invariantes de Riemann métricas. Sin embargo, como vamos a ver a continuación, que no admite un canónica bi-invariante pseudo-métrica de Riemann de la firma $(+,-,-)$.

Ahora, en general, si $\mathfrak{g}$ es la Mentira de álgebra de $G$, podemos definir la forma de Matar a $B : \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathbb{R}$ por $$ \forall X, Y \in \mathfrak{g}, \quad B(X,Y) := -\operatorname{trace}(\operatorname{ad}(X)\operatorname{ad}(Y)), $$ donde $\operatorname{ad}(X) : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ está definido por $\operatorname{ad}(X)Y := [X,Y]$. La Matanza de forma $B$ es bilineal simétrica, y invariantes bajo la adjoint acción de $G$$\mathfrak{g}$, por lo que mediante la identificación de $\mathfrak{g}$ con la izquierda-invariante vectorial de los campos en $G$, se induce una bi-invariante posiblemente degenerados semi-métrica de Riemann en $G$ con la misma firma como $B$. Si $G$ es semi-simple, a continuación, $B$ realidad es no degenerada, y por lo tanto induce una completamente canónica bi-invariante pseudo-métrica de Riemann; por otra parte, la Matanza forma $B$ es positivo-definida (y por lo tanto los rendimientos de un bi-invariante de la métrica de Riemann) si y sólo si $G$ es compacto. Así, por ejemplo, el pacto semi-simple Mentira grupo $$ SU(2) := \{A \en M_2(\mathbb{C}) \mediados de los A^\ast = I_2, \ \det(A) = 1\} $$ admite un canónica bi-invariantes de Riemann métrica inducida por su forma de Matar, pero el no-compacto simple (y, por tanto, semi-simple) se encuentran el grupo de $SL(2,\mathbb{R})$, que no admite bi-invariantes de Riemann métrica, sin embargo, admite una canónica de pseudo-métrica de Riemann de la firma $(+,-,-)$ inducida por su forma de Matar.