La evaluación de $\int_0^{\infty}e^{-\alpha x^2 \cos \beta} \cos(\alpha x^2 \sin \beta) dx$

Question

Q: Supongamos $\alpha>0$$|\beta|<\pi/2$, muestran que $$\begin{align*} \textbf{(1)} \; \int_0^{\infty}e^{-\alpha x^2 \cos \beta} \cos(\alpha x^2 \sin \beta) dx &= \frac 1 2 \sqrt{\pi/\alpha}\cos(\beta/2)\\ \textbf{(2)} \; \int_0^{\infty}e^{-\alpha x^2 \cos \beta} \sin(\alpha x^2 \sin \beta) dx &= \frac 1 2 \sqrt{\pi/\alpha}\sin(\beta/2) \end{align*}$$

¿Cómo puedo integrar la anterior con el método de contorno?

La integral puede ser cambiado en $\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-\alpha x^2 \cos \beta} e^{i(\alpha x^2 \sin \beta) }dx = \int_0^{\infty} e^{x^2\alpha e^{i (\pi - \beta)}}dx$. Esto es similar a $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2}dx$, lo que se ha discutido aquí , excepto que tiene coeficientes complejos. ¿Cómo puedo modificar?

Answer 1

Utilice una cuña de contorno $C$ de ángulo de $-\beta/2$, es decir, por debajo del eje real. Es decir, considerar

$$\oint_c dz \, e^{-a e^{i \beta} z^2} = \int_O^R dx \, e^{-a e^{i \beta} x^2} + i R \int_0^{-\beta/2} d\theta e^{-a R^2 e^{i (\beta+2 \theta)}} + e^{-i \beta/2} \int_R^0 dx \, e^{-a x^2}$$

Tenga en cuenta que mediante el uso de este contorno, se obtiene un puro Gaussiano integrando a lo largo de la pendiente de la línea de origen.

Que la segunda integral se desvanece en el límite de $R \to \infty$ puede observarse teniendo en cuenta que el $\cos{(\beta+2 \theta)} \gt 0$ dentro del intervalo de integración. Por lo tanto,

$$\int_0^{\infty} dx \, e^{-a e^{i \beta} x^2} = e^{-i \beta/2} \int_0^{\infty} dx \, e^{-a x^2} = \frac12 e^{-i \beta/2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

El declaró respuestas vienen tomando partes real e imaginaria de la anterior.