Peskin y Schroeder, pasiva y activa de la traducción

Question

En peskin y Schroeder, del qft libro, en el capítulo dos, están hablando del teorema de Noether con respecto a las traducciones de las coordenadas.

Ellos describen y "infinitesimal" traducción de $x^\mu\rightarrow x^\mu -a^\mu$.

Y decir que, como una alternativa que puede ser visto como una transformación de la configuración del campo como

$\phi(x)\rightarrow \phi(x+a)=\phi(x)+a^\mu \partial_\mu \phi(x)$.

Ahora, según David tong notas este es el activo punto de vista de la transformación, pero todavía estoy un poco confundido por cualquiera de punto de vista. He leído posts aquí en la física de la pila, que son casi la misma cosa, pero no lo han ayudado hasta ahora.

La forma en que lo veo, si fijamos $f(x)=x-a$ A continuación,$\phi'(x)=\phi(f^{-1}(x-a))=\phi(x+a)$. Es esta la idea de una transformación activa?

En cuyo caso sería la versión pasiva, simplemente, ser $\phi(x-a)$?

He leído en el ejemplo de boas con(2) actuar en $\Bbb{R}^2$, donde se dijo que en un punto de vista podemos cambiar la base, pero en el otro punto de vista podemos cambiar el vector de sí mismo. ¿Hay algún beneficio para la elección de cualquiera pesar de que en el caso anterior de peskin y Schroeder, wrt es el contexto de Noether del teorema?

Answer 1

Un pasivo transformación es un mero cambio de coordenadas en un colector y por lo general hay nada especial acerca de esto. Cada tensor de la ecuación es trivialmente invariante (o mejor decir covariante) en virtud de tales transformaciones. En términos de colectores y atlas esto corresponde a un cambio de gráficos. Así que vamos a $M$ ser dicho colector, digamos por ejemplo, real, diferenciable y de la dimensión de $n$, y deje $(U,\phi)$ $(V,\psi)$ ser dos gráficos en $M$ tal que $U\cap V\neq\varnothing$. El mapa de $\psi\circ\phi^{-1}:\phi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)$ es un diffeomorphism que representa un cambio de coordenadas en la superposición $U\cap V$ $M$ e implica abrir los subconjuntos de a $\mathbb R^n$.

Una transformación activa es un movimiento en el colector $M$ a través de una diffeomorphism $\phi:M\to M$ que envía a cualquier punto de $p$ a el nuevo punto de $q = \phi(p)$. Cuando se realiza una transformación activa, no sólo de mover el punto de $p$$q$, pero también cada tensor/formulario en $p$ va a ser desplazado del tensor/exterior álgebra $T(T_pM)$/$\bigwedge^*(T^*_pM)$ a $T(T_qM)$/$\bigwedge^*(T^*_qM)$ a través de los mapas $\phi(p)_*$ $\phi(p)^*$ inducida por $\phi$. Un caso interesante es cuando $\phi$ surge desde el flujo de un campo vectorial (por ejemplo, Matar a un campo de vectores). A continuación, la noción de simetría es estudiado por medio de la Mentira derivado de un tensor por el vector de campo. Así, la descripción en términos de coordenadas locales es la siguiente. Fijar un punto de $p\in M$ y gráficos $(U,\rho)$, $(V,\psi)$ tal que $p\in U$$\phi(p)\in V$. El mapa de $\psi\circ\phi\circ\rho^{-1}:\rho(U\cap\phi^{-1}(V))\to\psi(\phi(U)\cap V)$ es un diffeomorphism entre abrir los subconjuntos de a $\mathbb R^n$, y su diferencial se relaciona con tensor de cantidades entre la tangente espacios.

Answer 2

Imagine que su campo escalar como un "parche" que se extiende sobre algunos región finita del espacio, representado como una rejilla 3D (o 4D si desea incluir el tiempo).

Una transformación activa está considerando la posibilidad de "parche" móvil mientras que la cuadrícula de fondo es fijo.

Un pasivo transformación está considerando la posibilidad de "parche" para ser fijo, mientras que la cuadrícula de fondo se mueve en sentido opuesto al caso anterior.

De cualquier manera, no hay diferencia en lo que se refiere teorema de Noether (o cualquier otro teorema que yo sepa): el $a$ parámetro cancela al final y si es positiva o negativa es la misma.

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Un par de preguntas:

• Activo versus pasivo transformaciones
• Un par de preguntas sobre pasiva vs activa de la transformación de Lorentz