Puntos de acumulación de innumerables conjuntos

Question

Dado cualquier subconjunto incontables $S$ del intervalo de unidad. $S$ Claramente tiene un punto de acumulación y de hecho uncountably muchos (que también puede ser un buen ejercicio). Mi pregunta es: ¿hay un punto de acumulación, que otra vez se encuentra en $S$?

Answer 1

Sí, cada subconjunto incontable de $\mathbb{R}$ contiene al menos uno de sus puntos de acumulación.

Supongamos que de lo contrario, que $S \subseteq \mathbb{R}$ es incontable y no contiene ningunos de sus puntos de acumulación. Entonces cada $x \in S$ allí es una $\epsilon_x > 0$ tal que $( x - \epsilon_x , x + \epsilon_x ) \cap S = \{ x \}$. Entonces hay un $n \in \mathbb{N}$ tal que $S^\prime = \{ x \in S : \epsilon_x > \frac 1n \}$ es incontable. Considerar la familia $$\{ ( x - \tfrac {1}{2n} , x + \tfrac{1}{2n} ) : x \in S^\prime \}.$$ It can be shown that this is an uncountable family of pairwise disjoint open subsets of $ \mathbb{R}$ which contradicts that the countable set $\mathbb{Q}$ is a dense subset of $\mathbb{R}$.

Answer 2

Sí; incluso pueden llevarlo a ser un punto de acumulación completa.

Sea $\mathscr{B}$ cualquier base contable para la topología de $\Bbb R$, por ejemplo, el conjunto de intervalos abiertos con extremos racionales. Que $$C=\{x\in S:\exists B\in\mathscr{B}(x\in B\text{ and }B\cap S\text{ is countable})\}$$ be the set of points of $S$ having an open nbhd containing only countably many points of $S$. For each $x\in C$ let $B_x\in\mathscr{B}$ be such that $x\in B_x$ and $B\cap S$ is countable, and let $\mathscr{B}_0=\{B_x:x\in C\}$. Then $\mathscr{B}_0$ is countable, so $$C=\bigcup_{B\in\mathscr{B}_0}(B\cap S)$$ is countable as well, and every point of $S\setminus C $ is a complete accumulation point of $ s$.

Answer 3

Si cualquier punto de acumulación de $S$ no está en $S$, entonces $S$ es discreta; por lo que cualquier $s \in S$, hay un intervalo de $I_s$ % de la longitud $\ell_s>0$tal que $S \cap I_s = \{s\}$. Por otra parte, $\displaystyle \sum\limits_{s \in S} \ell_s \leq \ell g([0,1])=1$. Así que es a lo más contable $S$. De hecho, ya que es finito, $\displaystyle \sum\limits_{s \in S} \ell_s$ $\{s \in S : \ell_s > 1/n \}$ es finito, por lo tanto $\displaystyle S= \{s \in S : \ell_s >0 \}=\bigcup\limits_{n >0} \{s \in S : \ell_s > 1/n \}$ es a lo más contable.