Si a,B,C,D son los ángulos de un cuadrilátero y $\sin (A/2)\sin (B/2)\sin (C/2)\sin (D/2)=1/4 $ demostrar que $A=B=C=D=\pi/2 $

Question

Si a,B,C,D son los ángulos de un cuadrilátero y $\sin (A/2)\sin (B/2)\sin (C/2)\sin (D/2)=1/4 $ demostrar que $A=B=C=D=\pi/2 $.

¿Cómo debo proceder? Cualquier sugerencia podría ser útil.Gracias.

Answer 1

El uso de AM-GM y la desigualdad de Jensen: $$\sqrt[4]{\sin (A/2)\sin (B/2)\sin (C/2)\sin (D/2)}\le \frac{\sin (A/2)+\sin (B/2)+\sin (C/2)+\sin (D/2)}{4}\le$$ $$\le\sin \left(\frac{A/2+B/2+C/2+D/2}4\right)=\sin 45^{\circ}=\frac1{\sqrt2}$$ A continuación, $$\sin (A/2)\sin (B/2)\sin (C/2)\sin (D/2)\le \frac14$$

$$\sin (A/2)\sin (B/2)\sin (C/2)\sin (D/2)= \frac14 \Leftrightarrow \sin (A/2)=\sin (B/2)=\sin (C/2)=\sin (D/2)\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow \frac A2=\frac B2=\frac C2=\frac D2=\frac {\pi}4 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow A=B=C=D=\frac {\pi}2$$