Una pregunta acerca de una ruta de un punto que se desplaza de una manera particular a través del plano

Question

No sé exactamente cómo clasificar esta pregunta. No es de ninguna tareas, algo a lo que me he estado preguntando acerca de.

Digamos que, en el comienzo de un experimento ( el principio es $t=0$ secs) tenemos dos puntos en el plano: uno en $(0,0)$ y uno en $(0, 1)$.

Empezaron a moverse por las siguientes reglas:

1. El punto de que fue en $(0,0)$ se desplaza hacia la derecha, en la $x$-eje, en una velocidad constante de $1~\text{m}/\text{s}$.

2. El punto de que fue en $(0,1)$ también se mueve en una velocidad constante de $1~\text{m}/\text{s}$, pero sus cambios de dirección, de modo que la dirección de su velocidad es siempre dirigida al primer punto (como un misil que sigue un objeto en movimiento).

Espero que me hice claro. Mi pregunta es: ¿hay una buena fórmula para la ubicación del segundo punto del plano por un tiempo determinado $t$? ¿Cómo puede ser derivada? ¿Y si cambiamos la relación entre la constante de velocidades?

Gracias por su tiempo para leer mi pregunta...

Answer 1

Deje que el primer punto de la posición del ser $(t,0)$, y el segundo $(x(t),y(t))$.

Tenemos que la dirección de el segundo punto es proporcional a la diferencia entre los puntos:

$$(x'(t), y'(t))\propto(t - x(t), -y(t))$$

Pero, puesto que la velocidad es constante, se debe tener que:

$$(x'(t), y'(t))=\left(\frac{t-x(t)}{\sqrt{(t - x(t))^2 + y^2(t)}}, -\frac{y(t)}{\sqrt{(t - x(t))^2 + y^2(t)}}\right)$$

Con $x(0) = 0, y(0) = 1$.

Ahora debemos resolver la ecuación diferencial.

Anexo

Esta ecuación tiene una solución cerrada que implican el Lambert $W$-función, que puede ser obtenido por el movimiento en coordenadas polares, pero se pone muy feo - Si alguien puede ofrecer una solución más simple, me encantaría escuchar de uno. La solución también está estrechamente relacionado con un problema similar, que de la Tractrix, que tiene la distancia constante en lugar de una velocidad constante.

En cualquier caso, aquí está lo que la curva resultante se parece a, por $t\in[0,1]$: