Forma cerrada de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(\alpha \, n)}{n!}$

Question

¿Cómo puedo encontrar la forma cerrada de

$$ f(\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(\alpha \, n)}{n!}$$

Mi viejo amigo Wolfram me dice que

$$ f(\alpha) = \mathrm{e}^{\cos(\alpha)}\cos(\sin(\alpha))$$

He intentado escribir los primeros términos para diferentes valores de $\alpha$ pero no sé cómo llegar al resultado.

Answer 1

Considere \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (n\alpha)}{n!}+i \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin (n\alpha)}{n!}. \end{eqnarray*} Ahora por el teorema de De Moivre esto es igual a \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{(ni\alpha)}}{n!}= e^{e^{i\alpha}}=e^{\cos \alpha+i\sin \alpha} =e^{\cos \alpha} e^{+i\sin \alpha} =e^{\cos \alpha} (\cos (\sin \alpha)+i\sin (\sin\alpha)) \end{eqnarray*} Ahora iguala las partes reales y tenemos \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (n\alpha)}{n!}=e^{\cos \alpha} \cos (\sin \alpha). \end{eqnarray*}

Answer 2

Una pista:

$$\cos(\alpha n)=\frac{1}{2}\left(\left(e^{i\alpha}\right)^n+\left(e^{-i\alpha}\right)^n\right)$$

Alternativamente, se puede escribir como (cuando $\alpha$ es real) como

$\cos(\alpha n)$ es la parte real de $\left(e^{i\alpha}\right)^n$ .