Finito subgrupos de $SO(3)$ para elementos específicos

Question

Mi tarea: Describir todos los subgrupos finitos de SO(3) que contienen los elementos $$ H:= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad \text{y} \qquad G:= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}. $$

Lo que he conseguido hasta ahora: Tenemos 5 isomorphtypes:$$ C_n, D_{2n},A_4,S_4, A_5$$ Ahora yo ahora el subgrupo debe ser al menos de orden 4 elementos debido a: $$\langle G,H \rangle=(h,g,hg,e)$$ También no puedo encontrar un subgrupo en $$C_n$$ because I have 2 generators with 2 separate cycles so $$C_n$$ está fuera de la cuestión. Pero ahora estoy atascado. Traté de calcular el estabilizador, pero son siempre de orden 1, por lo que la órbita es tan grande como el subgrupo de sí mismo y yo tampoco lo sé exactamente, ¿qué tan grande mi subgrupo es (sólo sé que es al menos de orden 4), así que no puedo uso del Teorema de Lagrange. He intentado trabajar con Sylow pero estoy atascado aquí. Gracias por su ayuda

Answer 1

Como has implícita, $G$ $H$ son desplazamientos de reflexiones a través de las líneas (que debe por lo tanto ser idénticos o ortogonales), por lo que la pregunta es, realmente, más que preguntar cuál de los grupos en la lista admite dos de tales reflexiones.

Como usted dice, $S_4$ puede ser realizado con el grupo de orientación de la preservación de las simetrías de la octaedro, el cual tiene dos simetrías. De hecho, si tomamos el octaedro a ser uno con vértices $(\pm 1, 0, 0)$, $(0, \pm 1, 0)$, y $(0, 0, \pm 1)$, entonces la corriente directa (mirando a las matrices y vectores, en realidad) que muestra las matrices de $G$ $H$ son dos de dichas transformaciones.