Considere la posibilidad de obtener las ecuaciones de campo mediante el establecimiento $\delta S=0$ donde $S$ es la acción tomada.
Recuerde que para las teorías f(R), la acción va:
$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,f(R)+\mathcal{L}_m\right)$
y original, ecuaciones de campo de Einstein sólo son modificados en el lado izquierdo de la igualdad ("términos geométricos"):
$\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}R_{\mu\nu}-\dfrac{f(R)}{2}g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu}g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}-\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\right]\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$.
Para la Relatividad General, la acción de Einstein-Hilbert va:
$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,R+\mathcal{L}_m\right)$
y así, uno para hacerse famoso, conocido, ecuaciones de campo de Einstein:
$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$
como usted puede ver, no se puede conseguir sin embargo, en la constante cosmológica (o el vacío de la densidad de energía).
Usted puede tomar la definición de la tensión tensor de energía como:
$T_{\mu\nu}=\,-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\,\delta\,\left(\sqrt{-g}\mathcal{L}_m\right)}{\delta\,g^{\mu\nu}}$
para cualquier acción que $\mathcal{L}_m$ es el lagrangiano de la materia presentes en el espacio-tiempo de configuración, correspondiente al final en la tensión de la energía del tensor.
Desde arriba se puede ver que la "energía-impulso términos" en el lado derecho de las ecuaciones son las mismas para ambas teorías, y se agregan manualmente en las acciones. Normalmente, tenemos Einstein-ecuaciones de campo de tomar E-H de acción negliging $\mathcal{L}_m$ para el vacío:
$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=0\,$ $\,\mathcal{L}_m=0$
La ley de la conservación será todavía obedeció a partir de la definición de la acción para f(R).