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¿Por qué es $\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ válido para $f(R)$ teorías?

Mi pregunta es en el contexto de $f(R)$ teorías, suponiendo que en el universo temprano $f(R)\sim R^n$ ($n>1$).

¿Por qué es la co-variante de la ley de la conservación de la energía-impulso del tensor se encuentra en la Relatividad General sigue vigente?

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Stefano Puntos 763

Diffeomorphism la invariancia de la materia de la acción $S_m$ lleva (a través de Noether 2 del teorema) a la identidad$^1$ $$ \nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\aprox}~0, \qquad T^{\mu\nu}~:=~\mp\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}, \etiqueta{1} $$

cf. por ejemplo, Ref. 1. [Aquí el $\stackrel{m}{\approx}$ símbolo significa la igualdad modulo materia de misiones de observación electoral. La conexión de $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión. El Minkowski convención de signos es $(\pm,\mp,\mp,\mp)$.]

Referencias:

  1. R. M. Wald, GR; Apéndice E. 1.

--

$^1$ Nota de que la eq. (1) no es una ley de la conservación por sí mismo. Para obtener una ley de conservación, necesitamos Matar a un campo de vectores, cf. por ejemplo, mi Phys.SE la respuesta aquí.

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AJ. Puntos 882

Considere la posibilidad de obtener las ecuaciones de campo mediante el establecimiento $\delta S=0$ donde $S$ es la acción tomada.

Recuerde que para las teorías f(R), la acción va:

$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,f(R)+\mathcal{L}_m\right)$

y original, ecuaciones de campo de Einstein sólo son modificados en el lado izquierdo de la igualdad ("términos geométricos"):

$\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}R_{\mu\nu}-\dfrac{f(R)}{2}g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu}g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}-\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\right]\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$.

Para la Relatividad General, la acción de Einstein-Hilbert va:

$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,R+\mathcal{L}_m\right)$

y así, uno para hacerse famoso, conocido, ecuaciones de campo de Einstein:

$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

como usted puede ver, no se puede conseguir sin embargo, en la constante cosmológica (o el vacío de la densidad de energía).

Usted puede tomar la definición de la tensión tensor de energía como:

$T_{\mu\nu}=\,-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\,\delta\,\left(\sqrt{-g}\mathcal{L}_m\right)}{\delta\,g^{\mu\nu}}$

para cualquier acción que $\mathcal{L}_m$ es el lagrangiano de la materia presentes en el espacio-tiempo de configuración, correspondiente al final en la tensión de la energía del tensor.

Desde arriba se puede ver que la "energía-impulso términos" en el lado derecho de las ecuaciones son las mismas para ambas teorías, y se agregan manualmente en las acciones. Normalmente, tenemos Einstein-ecuaciones de campo de tomar E-H de acción negliging $\mathcal{L}_m$ para el vacío:

$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=0\,$ $\,\mathcal{L}_m=0$

La ley de la conservación será todavía obedeció a partir de la definición de la acción para f(R).

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