Convergencia de una serie a una integral

Question

Supongamos que tenemos una función real $f$ continua acotada en $[0,1]$ .

Sabemos que

$$ \frac 1 n \sum_{i=1}^n f(x_i) \to \int_0^1 f(x) \,dx$$

para $x_i \in [(i-1)/n, i/n]$ , ya que $n\to \infty$ .

Ahora supongamos que tenemos una secuencia $f_n$ de funciones continuas acotadas en $[0,1]$ convergiendo puntualmente a $f$ .

¿Es cierto que

$$ \frac 1 n \sum_{i=1}^n f_n(x_i) \to \int_0^1 f(x) \,dx$$

Answer 1

Consideremos la secuencia de funciones continuas $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ definido en $[0,1]$ que surge al establecer $f_1(x)=x$ y para $n=2,3,\ldots$ \begin{align}f_n(x) := \begin{cases} n^2x , \; \text{ if } x \in \left[0 , \,\frac{1}{n}\right], \\ 2n - n^2x , \; \text{ if } x \in \left[\frac{1}{n} , \,\frac{2}{n}\right], \\ 0, \; \text{ if } x \in \left[\frac{2}{n}, \,1\right].\end{cases} \fin{align}

Así que para $n=1,2, \ldots$ tenemos $|f_n(x)| \leq n$ para todos $x \in [0,1]$ (cada función de la secuencia está acotada en $[0,1]$ ). Además, $\lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)=0$ y por tanto el límite puntual es la función acotada y continua $f(x):=0$ $(x \in [0,1])$ . Para $n=1,2,...$ dejar $S_n := \big\{\frac{i}{n} \in [0,1] : i \in \mathbb{N}\big\}$ y para $i=1,\ldots,n$ permitimos $x_i \in S_n$ para denotar el número $\frac{i}{n}$ . Entonces tenemos \begin{equation}\frac{1}{n} \sum_{x_i \in S_n} f_n(x_i) = 1 \;\;\; (n=1,2,\ldots) \end{equation} pero $\frac{1}{n} \underset{x_i \in S_n}{\sum} f(x_i)=0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ (nótese que para $n=2,3,\ldots$ tenemos $f_n(x_{n-1})=n$ ). En otras palabras, $ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \overset{n}{\underset{i =1}\sum} f_n\left(\frac{i}{n}\right) = 1$ (límite de una secuencia constante) pero $ \int_0^1 f(x) \,dx=0$ .

Como se trata de un contraejemplo, la afirmación no es verdadera...

Como un bono:

Answer 2

Dejemos que $f_n(x) = n^2x^n(1-x).$ Entonces $f_n\to 0$ en todos los puntos de $[0,1].$ Pero

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_n(i/n) > \frac{1}{n}f_n((n-1)/n) = \frac{1}{n}n^2(1-1/n)^n\frac{1}{n} \to \frac{1}{e} \ne \int_0^1 0\,dx.$$