Fórmulas de convolución

Question

Tengo una duda sobre la convolución.

He encontrado esta definición :

$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\alpha) \ g(\alpha) \ d\alpha$$

Esta integral no converge:

$$\cos(t)*t=\int_{-\infty}^{+\infty} \cos(t-\alpha) \ \alpha \ d\alpha$$

Al contrario: $$ \mathscr{L} \{ \cos(t) * t \} =\mathscr{L} \{ \cos(t) \} \ \mathscr{L} \{t \}=\frac{1}{s^3+s}$$

Descomposición de fracciones parciales:

$$\frac{1}{s^3+s}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-i}+\frac{C}{s+i}$$

$$A=\lim_{s\rightarrow 0} \ \frac{1}{s^2+1}=1$$ $$B=\lim_{s\rightarrow i} \ \frac{1}{s^2+is}=-\frac{1}{2}$$ $$C=\lim_{s\rightarrow -i} \ \frac{1}{s^2-is}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{s^3+s}=\frac{1}{s}+\frac{-\frac{1}{2}}{s-i}+\frac{\frac{1} {2}}{s+i}$$

$$\mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{s}+\frac{-\frac{1}{2}}{s-i}+\frac{\frac{1}{2}}{s+i} \}=1-\frac{1}{2} \ e^{it}+\frac{1}{2} \ e^{-it}$$

Luego, he encontrado esta otra definición de convolución (en una lección sobre la transformada de Laplace):

$$(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(t-\alpha) \ g(\alpha) \ d\alpha$$

¿Por qué hay dos definiciones diferentes sobre la convolución?

¿Cuándo tengo que usar uno u otro?

Gracias.

Answer 1

Citemos a Wikipedia:

La convolución de $f$ y $g$ es [...]

\begin{align} (f * g )(t) & \, \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, g(t - \tau) \, d\tau \\ & = \int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)\, g(\tau)\, d\tau. \end{align}

Para las funciones $f,g$ sólo se admite en $[0, \infty)$ (es decir, cero para los argumentos negativos), los límites de integración pueden truncarse, dando como resultado

$$(f * g )(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau\quad \text{ for } f, g : [0, \infty) \to \mathbb{R}$$

---

Como puede ver, las dos definiciones son realmente equivalentes bajo esa condición particular.

El punto principal es que el soporte es sólo los reales no negativos.

Este hecho es habitual al resolver las EDO para $u(t),t>0$ con datos iniciales $u(0)$ ya que el tiempo suele pensarse como una cantidad positiva.

Answer 2

Hay dos transformadas de Laplace. Una es la de un solo lado (la habitual) que sólo es válida para funciones de valor real sobre reales positivos, es decir $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ y viene dada por $$\mathscr{L}[f(t)]=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$ Luego tenemos la versión de dos caras donde la integral es sobre $\mathbb{R}$ y las funciones han terminado $\mathbb{R}$ .

Ahora bien, si $f$ y $g$ están definidos sobre reales positivos, ¿ves que las dos nociones de convolución coinciden? También al aplicar la transformada de Laplace para $\cos(t)$ La versión unilateral se utiliza para obtener esa expresión $\frac{1}{s^2+1}$ . Esto significa que está asumiendo que la función es cero para $t<0$ .

En resumen, la primera definición es la más general y la segunda es específica para lo que he dicho arriba.

Answer 3

Si sus funciones sólo son distintas de cero en $[0, \infty)$ (es decir, cero para todos los valores negativos), entonces la segunda definición

$$(f \ast g)(t) := \int_0^t f(t - \alpha) g(\alpha) \,d\alpha$$

es equivalente a la primera. $g(\alpha)$ será $0$ para cualquier $\alpha < 0$ , por lo que podemos dejar de lado el $\int_{-\infty}^0$ parte. De la misma manera, $f(t-\alpha)$ será $0$ para cualquier $\alpha > t$ , por lo que podemos dejar de lado el $\int_t^\infty$ parte.