¿Cuál es la mayor diferencia de área entre dos "triángulos bonitos"?

Question

Llamamos a un triángulo "bonito" si todos los ángulos están entre $45$ y $90$ grados (incluyendo $90$ y $45$ mismo) y todos los lados están entre $1$ y $2$ (incluyendo $1$ y $2$ mismo). ¿Cuál es la mayor diferencia de área entre dos "triángulos bonitos"?

Mi intento : Como tenemos límites de lado y de ángulo, la mejor manera de encontrar el área es utilizando la fórmula $S=bc\cos{A}$ . Deberíamos encontrar el área mayor y menor. Pero aquí me he quedado atascado y no sé cómo tener ambos límites entre sí. Primero pensé que el área máxima es $A=90^\circ $ y $b=c=2$ . Pero luego vi que entonces tenemos $a=2\sqrt{2}>2$ . ¿Podría usted por favor dar una manera?

Answer 1

Por la desigualdad isoperimétrica el área mayor de un triángulo bonito es $\sqrt{3}$ es decir, el área de un triángulo equilátero de lado $2$ . Según la fórmula $2\Delta = ab\sin\gamma$ el área más pequeña de un triángulo bonito es $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot\sin 60^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{3}$ .

Se deduce que la mayor diferencia de área entre dos triángulos bonitos es $\color{red}{\frac{3}{4}\sqrt{3}}$ .

Answer 2

El triángulo máximo tiene dos lados de longitud $2.$

para cualquier triángulo que tuviera sólo 2 lados de longitud 2, podríamos extender el segundo lado más largo hasta que fuera de longitud 2, y crear un triángulo más grande.

$Area = \frac 12 BC\sin a\\ B,C = 2$

maximizar $2\sin a$

limitado por: $4 \sin \frac {a}{2} \le 2$

$\sin \frac {a}{2}\le \frac 12\\ \frac {a}{2}\le 30\\ a\le 60$

Desde $\sin a$ es estrictamente creciente entre 0 y 90.

$a = 60\\ Area = 2\sin 60 = \sqrt 3$

entonces minimizar $\frac 12 \sin a$

limitado por: $4 \sin \frac {a}{2} \ge 1$

y de nuevo $a = 60$