Energía cinética Expresión alternativa

Question

Intento: Me las he arreglado para mostrar todo excepto la última parte. Necesito mostrar una expresión alternativa para $T$ como se muestra a continuación. He intentado mostrar que el producto escalar relevante es el mismo que tomar el producto escalar de la velocidad pero no ha funcionado, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Para la primera parte, observamos que como $\vec B$ es constante

$$m\vec r''=q\vec r'\times\vec B\implies m\vec r'=q\vec r\times\vec B \tag 1$$

A continuación, utilizando $(1)$ observamos que

$$\begin{align} \vec L\cdot \vec B&=(m\vec r \times \vec r')\cdot \vec B\\\\ &=-m\vec r'\cdot (\vec r\times \vec B)\\\\ &=-\frac{m^2}{q}(\vec r'\cdot \vec r') \tag 2 \end{align}$$

También tenemos

$$\left|\vec r\times \vec B\right|^2=\frac{m^2}{q^2}(\vec r'\cdot \vec r') \tag 3$$

Por lo tanto, el uso de $(2)$ y $(3)$ tenemos

$$\vec L\cdot \vec B+\frac12 q\left|\vec r\times \vec B\right|^2=-\frac12 \frac{m^2}{q}(\vec r'\cdot \vec r') \tag 4$$

Finalmente,

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\vec r'\cdot \vec r'\right) &= 2\left(\vec r'\cdot \vec r''\right)\\\\ &=2\vec r'\cdot \frac{q}{m}(\vec r'\times \vec B)\\\\ &=0 \end{align}$$

para que $\vec L\cdot \vec B+\frac12 q\left|\vec r\times \vec B\right|^2$ es una constante de movimiento como se iba a demostrar.

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Para la segunda parte, ya demostramos que la energía cinética es una constante de movimiento ya que demostramos que $$\frac{d}{dt}\left(\vec r\cdot \vec r\right)=0$$

Ahora definimos un vector unitario $\hat u=\frac{\vec r}{|\vec r|}$ . Desde $\hat u$ es un vector unitario, observamos que como $\hat u\cdot \hat u=1$ entonces

$$\hat u'\cdot \hat u=\frac12 \frac{d}{dt}(\hat u\cdot \hat u)=0$$

y

$$\frac12 \frac{d^2}{dt^2}(\hat u\cdot \hat u)=\hat u\cdot \hat u''+\hat u'\cdot \hat u'\implies \hat u\cdot \hat u''=-\hat u'\cdot \hat u' \tag 5$$

También haremos uso de las identidades

$$r'=\frac{d}{dt}\left|\vec r\right|=\hat u\cdot \vec v \tag 6$$

y

$$r \hat u' =\vec v-r'\hat u \tag 7$$

Entonces, utilizando $(5)$ , $(6)$ y $(7)$ encontramos

$$\begin{align} \hat u\cdot \left((\hat u\cdot \vec v)\vec v-r^2\hat u''\right)&=(\hat u\cdot \vec v)^2+r^2\hat u'\cdot \hat u'\\\\ &=(\hat u\cdot \vec v)^2+(\vec v-r'\hat u)\cdot (\vec v-r'\hat u)\\\\ &=(\hat u\cdot \vec v)^2+(\vec v\cdot \vec v-2r'\hat u\cdot \vec v+r'^2)\\\\ &=\vec v\cdot \vec v+(\hat u\cdot \vec v)^2-2(\hat u\cdot \vec v)^2+(\hat u\cdot \vec v)^2\\\\ &=\vec v\cdot \vec v \end{align}$$

Por lo tanto, podemos escribir la energía cinética $T=\frac12 m\vec v\cdot \vec v$ como

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{T=\frac12 m\left(\hat u\cdot \left((\hat u\cdot \vec v)\vec v-r^2\hat u''\right)\right)}$$

¡como se iba a mostrar!