Simetría de un Hamiltoniano cuántico.

Question

Consideremos el modelo cuántico de Heisenberg: $$H=-J\sum_{\left< \vec r,\vec r'\right>} \hat S_\vec r\cdot \hat S_{\vec r'}\tag{1}$$ según Respuesta de David Bar Moshe en una pregunta relacionada esto es simétrico bajo el operador de paridad: $$P\circ \sigma_i^a=-\sigma_i^a\tag{2}$$ que manifiestamente lo es en el hecho de que no cambia la forma de (1). Pero mi problema es que sí cambia la forma de las relaciones de conmutación de los espines. Es decir, en lugar de: $$ [ S_i, S_j] = i \varepsilon_{ijk} S_k \tag{3}$$ obtenemos $$ [ S_i, S_j] = -i \varepsilon_{ijk} S_k\tag{4}$$ entonces, ¿podemos decir realmente que la paridad es una simetría del sistema - no nos importa que los operadores de espín cambien de relación de conmutación?

También me interesaría saber cómo actúa (2) sobre los vectores base del espacio de Hilbert subyacente.

Answer 1

Una simetría cuántica no preserva necesariamente las relaciones de conmutación del álgebra de operadores del sistema. Permítanme que les remita al libro de Klaas Landsman: Fundamentos de la teoría cuántica (Hay un descargable versión en researchgate) - capítulo 9 página 334, definición 9.2 (simetría de Wigner)

Esta definición puede reformularse del siguiente modo:

Una simetría de Wigner es una biyección continua del espacio de estados puro que preserva las probabilidades de transición.

(Landsman da un total de 6 definiciones (casi equivalentes) de una simetría, cada una hace hincapié en otro aspecto de la teoría cuántica).

Voy a elaborar el caso de la simetría de paridad de un espín $ \frac{1}{2}$ sistema Un estado puro de un pin- $\frac{1}{2}$ puede representarse mediante una matriz de densidad que también es un proyector: $$\rho = \frac{1}{2}(1 + \sum_i x^i \sigma_i)$$ Con: $\sum_i x_i^2 = 1$ . La última condición garantiza que la matriz de densidad es un proyector: $\det \rho = 0$ .

Dado que el operador de paridad invierte el signo de las matrices de Pauli $\sigma_i \rightarrow {\sigma}'_i = -\sigma_i$ actúa sobre los estados puros como: $$\rho \rightarrow \rho' = \frac{1}{2}(1 - \sum_i x^i \sigma_i)$$

preservar las expectativas:

$$\mathrm{tr}( \rho \sigma_i) = \mathrm{tr} ( \rho' {\sigma_i}').$$

Dados dos estados puros $\rho_x = \frac{1}{2}(1 + \sum_i x^i \sigma_i)$ y $\rho_y = \frac{1}{2}(1 + \sum_i y^i \sigma_i)$ . Su probabilidad de transición puede escribirse como: $$\tau(\rho_x, \rho_y) = \mathrm{tr}( \rho_x\rho_y)$$ En nuestro caso tenemos $$\tau({\rho}'_x, {\rho}'_y) = \mathrm{tr}( \frac{1}{2}(1 - \sum_i x^i \sigma_i) \times \frac{1}{2}(1 - \sum_i y^i \sigma_i) )= \frac{1}{2}(1+\sum_ix^iy^i) = \mathrm{tr}( \rho_x\rho_y) =\tau(\rho_x, \rho_y) $$ Por tanto, la paridad es una simetría.