El supremo y el ínfimo del conjunto dado

Question

Dado un conjunto $A = \left\{\dfrac{m} {n} + \dfrac{8n} {m} : m, n \in \mathbb{N}\right\}$ Determina su supremio e ínfimo.

Mi intento: Con $t:={m\over n}$ tenemos que considerar $t+8/t$ en ${\bf Q}^+$ . Tenemos $t+{8\over t}\ge 2\sqrt{8}=4\sqrt{2}$ . Por supuesto que la igualdad no es posible, pero dejando $t$ convergen a $2\sqrt{2}$ encontramos que $4\sqrt{2}$ es abordable, de ahí el infimo. El supremum es igual a $\infty$ enviando $t\rightarrow \infty$

¿Esta aproximación es válida/verdadera?

Answer 1

Tu planteamiento está bien, salvo que yo diría que no tiene supremacía, ya que no tiene límite superior.

Answer 2

Tienes toda la razón.

Si $\frac{m}{n}=t$ entonces tenemos $t+\frac{8}{t}=k\in \mathbf{Q^+}$ que es cuadrática en $t \in \mathbf{Q^+}$ resolviendo para t debemos tener $\frac{k\pm\sqrt{k^2-32}}{2}\in\mathbf{Q^+}$ lo que nos permite descartar una de las raíces como $\sqrt{k^2-32}< k\ $ por lo que sólo nos preocupa

$\frac{k+\sqrt{k^2-32}}{2}\in\mathbf{Q^+}$ Esto nos da lo siguiente:

$k^2-32>0\Rightarrow k>4\sqrt{2}$

donde $\lim_{t\to 2\sqrt{2}}k=4\sqrt{2}$

Además, si consideramos $\lim_{t\to 0}k$ obtenemos $\infty$ lo que significa para todos $t \in \mathbf{Q^+}$ hay un $t^{'} \in\mathbf{Q^+}$ tal que $k^{'}= t^{'}+\frac{8}{t^{'}}>k$