Después de intercambiar las posiciones de la hora y el minuto de la mano, cuando la voluntad de un reloj todavía dar un tiempo de validez?

Question

A las 12 horas, la manecilla de las horas y el minutero del reloj se puede intercambiar, y el reloj sigue dando el mismo tiempo, pero a las 6 de la mañana, puede no ser intercambiados. Así que ¿en qué casos cuando cambiamos la hora y los minutos en la posición de la mano que hace un reloj todavía dar un tiempo de validez?

Answer 1

Deje $x$ ser la posición de la manecilla de las horas, como se mide en grados en sentido horario a partir de las 12 de la mañana. Así, por ejemplo, a la 1 de la mañana, $x=30$. Deje $y$ ser la posición de la manecilla de los minutos; a continuación,$y\equiv12x\pmod{360}$, debido a que la manecilla de los minutos tiradas 12 veces más rápido que la aguja de las horas. En orden para $(y,x)$ válido par de posiciones (de aguja de las horas aguja de los minutos), también debemos tener $x\equiv12y\pmod{360}$. Poner thses juntos, llegamos $x\equiv144x\pmod{360}$,$143x\equiv0\pmod{360}$, que tiene las soluciones $x=0,360/143,720/143,1080/143,\dots$.

$x=360/143$ $12\times360/143=30.20979\dots$ minutos después de las 12 de la mañana; 30 minutos, 12 y cuatro séptimos segundos después de las 12 de la mañana. Y, a continuación, cualquier múltiplo entero de que va a hacer.

EDIT: Como Henry señala en un comentario, el párrafo 2 contiene un error. $x=360/143$ $12\times360/143=30.20979\dots$ grados el pasado 12 de la mañana, pero es $2\times360/143$ minutos pasadas las 12, que es (como dice Henry) 5 minutos, $2{14\over143}$ segundos después de las 12.