Si se invierte un número primo y se añade a sí mismo, ¿por qué el resultado es siempre un número compuesto?

Question

$2 \Rightarrow 22$ que es un número compuesto.
$37 \Rightarrow 3773$ que es un número compuesto.
$523 \Rightarrow 523325$ que es un número compuesto.
$8123 \Rightarrow 81233218$ que es un número compuesto.

Si tomas cualquier primo, lo inviertes y lo añades a sí mismo, el resultado siempre parece ser un número compuesto. He comprobado esto para $2 \leq n \leq 999999$ .

¿Hay alguna razón para esto, o es simplemente una coincidencia?

Answer 1

Todos los números de este tipo son divisibles por $11$ .

Considere la prima $\mathit{abcdefg}$ donde cada letra es un dígito.

El número $\mathit{gfedcbaabcdefg}$ es divisible por $11$ porque el la suma alternada de dígitos es siempre cero :

$$g - f + e - d + c - b + a - a + b - c + d - e + f - g = 0.$$

Answer 2

Como La respuesta de John notas, cada número palindrómico con un número par de dígitos es divisible por $11$ porque la suma alternada de sus dígitos es cero (y por tanto un múltiplo de $11$ ).

Por ejemplo, para $81233218$ tenemos: $$8-1+2-3+3-2+1-8 = 0,$$ y así $81233218$ es divisible por $11$ .

El razón por qué esto regla de divisibilidad funciona es más fácil de ver usando un poco de aritmética modular .

En concreto, por definición, dos números $a$ y $b$ son equivalentes módulo a módulo $m$ (que escribimos como $a \equiv b \pmod m$ ) si y sólo si su diferencia $a-b$ es divisible por $m$ . Así, en particular, un número $n$ es divisible por $m$ si y sólo si $n \equiv 0 \pmod m$ .

Ahora, la razón por la que esta definición es útil es porque podemos "hacer aritmética bajo el módulo $m$ ": en particular, si $a \equiv a' \pmod m$ y $b \equiv b' \pmod m$ entonces $a+b \equiv a'+b' \pmod m$ y $ab \equiv a'b' \pmod m$ . Así, si sólo nos interesa el resultado de un cálculo módulo de algún número $m$ (como, por ejemplo, si sólo queremos saber si $n \equiv 0 \pmod{11}$ para algún número $n$ ), y el cálculo sólo implica operaciones que funcionan de forma equivalente "bajo el módulo" (como la suma y la multiplicación, y cualquier combinación de ellas), entonces podemos sumar o restar libremente múltiplos de $m$ de cualquier valor intermedio para hacerlo más conveniente (lo que a menudo significa "más cerca de cero").

En particular, de la definición se deduce claramente que: $$10 \equiv -1 \pmod{11},$$ desde $10 - (-1) = 10 + 1 = 11$ . También sabemos que el valor numérico de una base $10$ número se obtiene matemáticamente multiplicando su cifra más baja por $1$ el segundo dígito con $10$ el tercer dígito con $10^2 = 100$ etc., y sumando los resultados. Por ejemplo: $$81233218 = 10^7 \cdot 8 + 10^6 \cdot 1 + 10^5 \cdot 2 + 10^4 \cdot 3 + 10^3 \cdot 3 + 10^2 \cdot 2 + 10 \cdot 1 + 8.$$

Pero como $10 \equiv -1 \pmod{11}$ si sólo queremos calcular el valor del número módulo $11$ podemos sustituir $10$ con $-1$ ¡en este cálculo! Por lo tanto: $$81233218 \equiv (-1)^7 \cdot 8 + (-1)^6 \cdot 1 + (-1)^5 \cdot 2 + (-1)^4 \cdot 3 + (-1)^3 \cdot 3 + (-1)^2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 8 \pmod{11}.$$

Y, por supuesto, podemos ver fácilmente que los poderes de $-1$ simplemente alternar entre $-1$ y $1$ por lo que esta expresión se simplifica a: $$81233218 \equiv -8 + 1 -2 + 3 - 3 + 2 - 1 + 8 = 0 \pmod{11}.$$

(Ps. El mismo truco también funciona en bases distintas de $10$ , demostrando que cualquier número palindrómico en base $b$ con un número par de bases $b$ dígitos, es necesariamente divisible por $b+1 = 11_b$ .)

Answer 3

Como se ha señalado en los comentarios, esto no es una propiedad especial de los primos. Más bien es cierto que siempre que se invierte un número y se añade el resultado a sí mismo, el resultado es siempre divisible por 11.

Para ver por qué esto es cierto, considere el número $A = 10^{n-1} a_{n-1} + 10^{n-2} a_{n-2} + \cdots + 10^0 a_0$ , donde $a_0, \ldots, a_{n-1}$ son todos enteros en $\{ 0, \ldots, 9 \}$ - es decir, la expansión decimal ordinaria de $A$ . Entonces se puede escribir A seguido de su inversión como

$$ 10^n (10^{n-1} a_{n-1} + 10^{n-2} a_{n-2} + \cdots + 10^0 a_0) + (10^{n-1} a_0 + 10^{n-2} a_1 + \cdots + 10^0 a_{n-1})$$

y ahora reorganicemos esto para que los términos con el mismo $a_i$ están juntos. Es igual a

$$ a_{n-1} (10^{2n-1} + 10^0) + a_{n-2} (10^{2n-2} + 10^1) + \cdots + a_0 (10^n + 10^{n-1}). $$

Cada factor de la forma $10^k + 10^l$ , donde $k-l$ es impar, es divisible por 11. Para ver esto se puede factorizar

$$10^k + 10^l = 10^l (10^{k-l} + 1) = 10^l (10 + 1) (10^{k-l-1} - 10^{k-l-2} + \cdots + 1), $$ donde los signos del último factor son alternativos. Se trata de la conocida regla de factorización de sumas de $n$ los poderes

$$(a+b)^n = (a+b) (a^{n-1} - a^{n-2} b + a^{n-3} b^2 - \cdots - a b^{n-2} + b^{n-1}), $$

que se aplica cuando $n$ es impar.

Así que nuestro número es una suma de múltiplos enteros de 11, y por lo tanto es divisible por 11.

Answer 4

Sugerencia $\ $ Si en el radix $b,\,$ tenemos $\,n = f(b) = f_0\! + f_1 b +\,\cdots+ f_n b^n,\,$ entonces invirtiendo los dígitos de $\,n\,$ da como resultado el número entero $\,\bar n = \bar f(b)\,$ para $\,\bar f(b) = b^n f(b^{-1})$ el polinomio invertido. Si se añade, se obtiene

$$ {\rm mod}\,\ b\!+\!1\!:\,\ b\equiv -1\,\Rightarrow\, b^{n+1} f(b) + b^n f(b^{-1})\,\equiv\, (-1)^n f(-1)(-1 + 1)\,\equiv\, 0\qquad $$

Answer 5

Todo número obtenido por esta construcción es divisible por $11$ . He aquí una sencilla prueba de divisibilidad por $11$ Si el número es $a_r\cdots a_0$ es divisible por $11$ si $\sum_{i=0}^r (-1)^ia_i = 0$ . Esto se deduce del hecho de que $10^{2i+1}=-1\bmod{11}$ y $10^{2i} = 1\bmod{11}$ . Así, $a_r\cdots a_0 = \sum 10^ia_i = \sum (-1)^i a_i\bmod{11}$ .

Ahora, como cada dígito del número que construyes aparece en un impar y en un lugar par, el número entero es divisible por $11$ .