Logaritmo de matriz con entradas positivas.

Question

Para matrices con un resultado positivo de las entradas (o, más en general, irreductible matrices con los no-negativo de las entradas), tenemos el Perron-Frobenius teorema, que nos dice que habrá un único vector propio con un resultado positivo de entradas y un autovalor positivo, y que este será el autovalor con la mayor magnitud.

Una buena interpretación de esto es en términos de un simple sistema dinámico, a menudo descrito como un modelo de la actividad económica o de las poblaciones biológicas. Deje $x_i$ ser la cantidad de "actividad económica" en un momento dado. El modelo es $$ \mathbf{x}(t+1) = \mathrm{Un}\mathbf{x}(t). \etiqueta{1} $$ $\mathrm{A}$ ha positiva entradas, lo que significa que en este modelo cada actividad económica tiene un efecto positivo en cualquier otra actividad, o algo así. En este caso el Perron-Frobenius teorema nos dice que el sistema converge a una situación en la que las cantidades relativas de cada actividad son proporcionales a los valores de la principal vector propio, y la actividad como un todo, será exponencialmente creciente (o decreciente) a una velocidad determinada por el líder autovalor.

Estoy interesada en saber si se puede derivar una continua versión de este modelo. Tomo nota de que si nos vamos a $$ \frac{d}{dt}\mathbf{x} = \mathrm{B}\mathbf{x},\etiqueta{2} $$ donde $\mathrm{B} = \ln\mathrm{A}$ (el logaritmo de la matriz de $\mathrm{A}$, suponiendo que existe), entonces para valores enteros de $t$, $(1)$ y $(2)$ va a dar los mismos valores de $\mathbf{x}$.

Sin embargo, la matriz de $\mathrm{B}$ no tienen generalmente positiva de las entradas. Desde hacer un par de ejemplos numéricamente parece $\mathrm{B}$'s elementos son siempre reales, pero más allá de eso no estoy seguro de cuál es el efecto que $\mathrm{A}$ positivo entradas tendrán en $\mathrm{B}$. De curso $B$ tienen la propiedad de que las entradas de $e^B$ son positivas, pero ¿cómo puedo interpretar que de forma intuitiva en términos de la dinámica de sistema de $(2)$?

En resumen, mi pregunta es, ¿qué puede decirse, en general, sobre una matriz de $B$ tal que $e^B$ ha positiva entradas? (O, más en general, de tal manera que $e^B$ es irreductible con los no-negativo entradas.)

Answer 1

$e^{t B}\geq 0$ todos los $t\geq 0$ es equivalente a $b_{ij}\geq0$$i\not=j$. En

http://www.fa.uni-tuebingen.de/research/publications/one-parameter-semigroups-of-positive-semigroups/Nagel%20One-parameter%20Semigroups%20of%20Positive%20Operators.pdf

usted puede encontrar una prueba (p 123) en el contexto de retículos de Banach. Su situación es mencionado en el Ejemplo 1.4 (p. 124).

Answer 2

Si $\lambda_i$ es un autovalor de a$B$, $e^{\lambda_i}$ es un autovalor de a $A$ con el mismo vector propio (esto se aplica en general). Luego, mediante el uso de Perron-Frobenius teorema existe un único vector propio de a $B$ con un resultado positivo de las entradas (que es el mismo vector propio de a $A$) y correspondiente de la real autovalor $\lambda$ tal que $\text{Re} \lambda_i < \lambda$, siempre que la exponencial mapa es bijective, es decir, logaritm de $A$ es único.

También, la estabilidad del sistema está determinado por este autovalor, ya que todos los autovalores de a $A$ necesita estar en el círculo unitario para la estabilidad, que es equivalente a todos los autovalores de a $B$ está en la mitad izquierda del plano.