Los dos únicos códigos lineales que conozco, hamming y minitel se codifican al conservar el mensaje y agregar algo al final, pero sé que algunos códigos no tienen esta propiedad. Así que me preguntaba si la siguiente afirmación era cierta:
"Para cualquier código lineal, puede encontrar un código lineal como eficiente (detecta el mismo número de errores, corrige el mismo número de errores y usa tantos bits adicionales) que mantiene el mensaje original al principio del mensaje codificado".
Sí, esto se conoce como codificación sistemática y que siempre puede ser alcanzado sin (esencialmente) cambiar el código. La razón de esto viene de álgebra lineal. Un lineal de código es la fila espacio de su generador de matriz. La fila de espacio de cualquier matriz se conserva, cuando hacemos operaciones elementales con sus filas. Por lo tanto, podemos asumir que el generador de la matriz se encuentra en una reducción escalonada. Después de que paso que puede ser necesario hacer algún número de la columna swaps, de manera que obtenemos una identidad de bloque en las columnas de la izquierda. Esto hace cambiar la fila de espacio, ya que es permuting algunos de los componentes de los vectores. Pero debido a que el mismo componente de permutación se aplicará a todas las palabras del código, su distancia de Hamming y de corrección de errores de la capacidad se conservan.
En la teoría de la codificación decimos que dos binarios códigos lineales son equivalentes, si son provenientes de cada uno de los otros haciendo lo mismo permutación de los componentes de todas las palabras.
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