Envolviendo mi cabeza alrededor de diferentes sistemas de números base

Question

este es mi primer post en este foro, estoy interesado en las matemáticas, pero no tienen ningún tipo de educación más allá del nivel de escuela secundaria en el tema, así que ir fácil en mí.

Lo que yo sé ahora: la base-10 es un sistema de número en notación que era más o menos arbitraria, seleccionados sobre los otros sistemas de numeración... si vamos a cambiar todos los números en una ecuación en un sistema diferente, podemos calcular la respuesta correcta en el sistema. No hay ninguna razón por la que el sistema de base 10 es más correcta que la base de 15 o de la base 5 del sistema. Si esto no es verdad, por favor me corrija.

Pregunta 1: en primer lugar, es posible tener un sistema de número que está por debajo de 1? Supongo que no, porque para ello sería necesario algún tipo de notación capaz de expresar una fracción, que requeriría de una base de sistema por lo menos igual a uno o mayor. Estoy equivocado? es teóricamente posible?

Pregunta 1.5: Está preguntando si usted puede tener una base del sistema de numeración que no es un número entero sistema una pregunta irónica? Como está preguntando si se puede tener una base 4.5 sistema una pregunta tonta, porque al decir "4.5" im suponiendo que me refiero a las cuatro y media, y la media sería de la mitad de los diez que implica un sistema de base 10? Es posible tener un número de sistema que está entre dos números enteros? Lo que lleva a mi tercera pregunta

Pregunta 2: ¿qué es un número para ser un "número entero" cuando nos referimos a la idea de ser "todo" para el número de sistema que se utiliza para expresar? Son algunos de los números enteros, en algunos sistemas, pero no todo en los demás?

Pregunta 3: Si algunos de los números son enteros, en algunos sistemas, pero no en los demás, ¿qué implicaciones tiene esto en números primos??

Gracias, Sam

Answer 1

En cuanto al número de bases de menos de $1$ (Pregunta 1), supongamos que usted tiene una base-una décima parte del sistema de numeración. El primer par de números enteros en este sistema sería

$$1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.1,1.1,2.1,3.1,4.1,5.1,6.1,7.1,8.1,9.1,0.2$$

La razón por la $0.1$ es el siguiente entero después de $9$ es que la base de este sistema de número, $b$, tiene el valor que normalmente llamada $\frac{1}{10}$ (escrito en base diez), y el primer lugar después de la coma decimal tiene lugar el valor de $b^{-1}$. Y, por supuesto,$\left(\frac 1n\right)^{-1} = n$, para cualquier $n$.

Este es un ejemplo tonto ya que sólo se pueden escribir todos los números hacia atrás y poner el punto decimal entre los' lugar y la decenas de lugar. Así que no es demasiado sorprendente que nunca he visto esto el sistema se ha explicado antes.

Pasar a la Pregunta 1.5, mucho más interesante es el sistema de base-$\phi$ número de sistema. El número de $\phi$ es también conocido como la Proporción áurea: $\phi = \frac12(1 + \sqrt 5)$.

Resulta que todos los poderes de la $\phi$ tienen la forma $\frac12(a + b\sqrt 5)$ para algunos enteros $a$$b$, y un montón de agradable cancelación puede ocurrir. Así que si permitimos que sólo los dígitos $0$ $1$ en este número del sistema (estos son los únicos enteros no negativos menos de $\phi$), podemos escribir el primer par de números enteros como

$$1, 10.01, 100.01, 101.01, 1000.1001, 1010.0001$$

Pero en cuanto a las Preguntas 3 y 4: sea cual sea el sistema está escrito en un número entero es un número entero. Ya que estamos tan acostumbrados a usar sólo números enteros con los sistemas basados en el número escrito en base a una décima parte y la base-$\phi$ en la lista de arriba (el "primer par de números enteros" en cada base) no puede mirar como números enteros, pero sin embargo eso es lo que cada uno de ellos.

O para decirlo de otra manera, todo número entero es producido por la adición de $1$ en el número anterior. Que es (esencialmente) la forma en que los números enteros se define. El sistema de numeración que utiliza puede tener algunos extraños efectos en la forma en "llevar" dígitos cuando la adición de $1$ a la anterior número entero hace que el " lugar "roll over", pero como siempre cuando se realice la operación aritmética correctamente obtendrá el mismo número real como te hubiera metido en cualquier otra base. Al igual que a cualesquiera otros hechos matemáticos que involucran números enteros o fracciones son exactamente los mismos en un número de base; puede que se ven diferentes debido a las diferentes notación numérica.

Answer 2

Voy a tratar de responder a la $3^{rd}$ pregunta.

Los números se utilizan para medir las cosas y a contar cosas. No podemos mezclar los dos conceptos. Contar utilizamos los números enteros y se entero de forma independiente a partir de la base que utilizamos para escribir. Además enteros se definen SIN ningún tipo de representación (axiomas de Peano). Los números positivos se define como el conjunto de $\mathbb{X}$ que satisface los siguientes axiomas:

• $\mathbb{X}$ contiene al menos un elemento de a $\overline{x}$;
• para cualquier $x\in \mathbb{X}-{\overline{x}}$ existe una y sólo una $s(x)\ne x:\;s(x)\in \mathbb{X}$;
• $s\left(\overline{x}\right)$ no existe;
• si $x,\;y\in \mathbb{X},\;x\ne y$$s(x)\ne s(y)$;
• si un subconjunto $A$ $\mathbb{X}$ contiene $\overline{x}$ $s(a)$ cualquier $a\in A$$A$$\mathbb{X}$.

Como se puede ver enteros positivos son incluso no representados.

Tal vez eso lo que estás pensando cuando dices de no entero de representaciones es la medida de algo wrt algunas unidades de medida, que es todo otro tema y que, por cierto, muchos lo confunden con el conteo.

Espero que esto ayude.

Answer 3

El número de $x$ es la representación de alimentación de la serie:
$x=\sum_{n=1}^{\infty}a_n b^n$
donde $b$ es la base del número y $\{a_n\}$ es una serie que representa el número. Por lo general, cuando $b$ es un número entero limitamos $a_n$ a estar en el grupo $T=\{0,1,2,...b-1\}$ de esta forma todos los número entero puede ser representado. Así que, si queremos representar todos los números que ampliar la representación:
$x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n b^n$
y utilizando un punto para indicar el lugar de $a_0$. Por ejemplo, $100.1$ $b=2$ representa a $4.5$. De esta manera todos los números racionales pueden representarse.

1) por lo tanto, es posible el uso de $b=0.5$ ? Sí, es como darle la vuelta a la representación en torno al punto, porque $0.5^n=2^{-n}$, y el número de 4.5 se representa como $1.001$. Aviso de que se elija $T=\{0,1\}$
1.5) Lo que si elegimos $b=4.5$$T=\{0,0.5,1,1.5,...4\}$, y el uso de los símbolos $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ $20$ representará $4.5$, e $11$ representará $2.75$. De esta manera sin el punto, que nos representan no sólo el número entero, sino también una parte de los números racionales. En el número que el sistema de parte de el no los números enteros se representa en notación de entero.

2) El "número Entero" es definido, independientemente de su representación(número de sistema). Está relacionada con la unidad del campo que trabajan con nosotros utilizando el campo de los números reales $\mathbb{R}$ y su unidad es el número 1. La definición del campo y la definición de su unidad es independiente de la representación de números. Definimos una serie sobre el campo con la unidad 1: $x_0 = 0$, $x_n = x_{n-1}+1$
x es un "número entero" si $x \in \{x_n\}$

3) los números Primos, así indepented de la representación de número de método. Para el ejemplo 5 es siempre va a ser una de las primeras. incluso si eliminamos todos los número impar de entero de representación por elección de $T=\{0,2,4,6,8\}$ 5 todavía está allí:
$0 \to 0$
$1 \to 2$
$2 \to 4$
$3 \to 6$
$4 \to 8$
$5 \to 20$

$20$ no puede ser dividido por $4$ desde el decimal resultado $5$ que no es un número entero en este sistema de numeración. Así, en este sistema de $20$ es primo, es en realidad 5 en el nuevo campo en el que nos uncontiously difined, es $2\mathbb{R}$ con la unidad 2

Answer 4

Bien, así que primero voy a hablar de una manera diferente de pensar acerca de las bases. Así, por ejemplo, digamos que usted desea escribir 471 en la base 5. Así que empieza con un "471" en las unidades de lugar:

471

Ahora, como estamos en la base 5 de cada 5 en las unidades de lugar es un valor de 1 en el siguiente lugar. Así que podemos tomar 470 de las unidades de lugar y convertirlo en el 94 en el lugar próximo a la izquierda (Imaginar esto como repetidamente tomo 5 de las unidades de lugar y agregar 1 para el siguiente lugar, 94 veces). Así que nuestro número es ahora:

94 1

Ahora, tomar un 90 y agregar 18 a la siguiente posición a la izquierda:

18 4 1

Y una vez más:

3 3 4 1

Así 471 es 3341 en la base 5.

Ahora la pregunta 1.5 (voy a volver a 1 más adelante). Te doy el ejemplo de la base 9/2. Lo que significaría es que 9 en un lugar de un valor de 2 en el lugar a la izquierda. Así que vamos a usar nuestro ejemplo de 471 de nuevo. Empezamos con sólo una 471, como antes:

471

Ahora, podemos repetidamente tomar 9 de las unidades de lugar y agregar 2 a la posición siguiente. Hacemos esto en 52 ocasiones, por lo que nos resta 468 de las unidades de lugar y agregar 104 el siguiente lugar:

104 3

Ahora usted puede tomar el 99 y poner un 22 en el siguiente lugar:

22 5 3

Una de las 18:

4 4 5 3

Así 471 en base 10 es 4453 en base 9/2. Tenga en cuenta que los dígitos pueden ser de hasta 8 en base 9/2. Ahora, te voy a mostrar un ejemplo de adición en base 9/2. Digamos que desea calcular 35 + 47, donde todos los números están en la base 9/2. Primero, sólo tiene que añadir todos los dígitos pares:

   3   5
+  4   7
--------
   7  12

Ahora, darse cuenta de que el 12 es mayor que 9, se puede restar un 9 y agregar 2 a la posición siguiente. Por lo que el número será de 9 a 3. Pero ahora, observe de nuevo que tiene un 9, por lo que puede restar y sumar 2 a la posición siguiente de nuevo. Así que el resultado final es el 203. Así que en base 9/2, 35 + 47 = 203.

Para la pregunta 1, básicamente, qué hacer cuando la base es menor que 1, por ejemplo, 1/5, es que cuando se toma de 5 fuera de lugar, agregar 1 en el lugar a la derecha en lugar de a la izquierda. Así que, básicamente, obtener el inverso de un número en base 5. Por ejemplo, 48839 en base 5 es 9.3884 en base 1/5.

Y para las preguntas 2 y 3. Los sistemas de Base son sólo una forma de representar los números, para nuestra propia conveniencia. Pero la forma de representar un número no cambia el número en sí. Así 471 en base 10 y 3341 en base 5 sigue siendo el mismo número. La base de las representaciones son como un nombre que le asignamos un número. Si cambia el nombre de un número, no cambia sus propiedades. Así, el concepto de un número entero es igual. Sin embargo, la forma de saber si un número es un número entero puede ser diferente. En base 10 (o en cualquier entero base), se puede saber fácilmente si un número es todo por asegurarse de que no tiene nada después del punto decimal (y sin signo negativo). En base 9/2, por ejemplo, no es tan fácil de decir. 35, por ejemplo, no es todo en base 9/2. (es igual a la 37/2 en base 10).