Deje $\mathcal{D}_K(\Omega)$ denotan el buen funciones con soporte compacto, $\mathrm{supp}(u) \subset K \subset \Omega \subset \mathbb{R}^n$ con $K$ compacto. En el estudio de este espacio, muchos de los textos de proporcionar una familia de seminorms, dada por: $$ \|\phi\|_{K,j} = \max_{|\alpha| \leq j}\max_{x\in K} \left|\frac{\partial^{\alpha}\phi}{\partial x^\alpha}\right| $$ Mi pregunta es, ¿por qué son estos seminorms en lugar de las propias normas? Si tenemos $\|\phi\|_{K,j} = 0$, no es el caso que para $\alpha$ con $|\alpha| = 0$ (i.e $\alpha = 0$ por lo que podemos considerar la función en sí mismo) que: $$ \max_{x\in K}\left|\frac{\partial^0\phi}{\partial x^0}\right| = \|\phi\|_\infty = 0 $$ que sólo sucede si $\phi$ es idéntica $0$. Me estoy perdiendo algo aquí?
Respuesta
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Una norma es un caso particular de seminorm. Por lo que llamar a la $||\cdot||_{K,j}$ seminorms tal vez no sea óptima en la precisión, pero no se trata de negar que estas son las normas para el espacio de $\mathcal{D}_{K}(\Omega)$ que son. La razón por la que creo que uno se refiere a ellos como seminorms es debido a que en la teoría general de la (localmente convexo) espacios vectoriales topológicos básicos de entrada para la definición de la topología es un conjunto de seminorms que puede o no puede ser normas. Esta distinción viene a la cabeza cuando se habla de si el espacio es Hausdorff separados o no. Para ello se necesita la recolección de la ofs eminorms como un todo, ser capaces de separar los puntos. Preguntar a uno de los seminorms a hacer esto por sí solo está pidiendo a ser una norma.
