¿Debo utilizar L'Hôpital

Question

Necesita encontrar el siguiente límite:

$$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5^x\sqrt{1 + 2x} - \cos(x)}{x} $$

Intenté usar el de L'Hôpital pero acabé con una expresión muy rara en el numerador y no pude resolver a partir de ahí.

Answer 1

Aquí hay un método que no necesita la regla de L'hopital:

Definir $$ f(x)=5^x \sqrt{1+2x} -\cos x, $$ entonces $f:[-\frac{1}{2},\infty)\to \mathbb{R}$ es diferenciable en $x=0$ . Encuentre $f'(0)$ : $$ f'(x)=5^x \ln 5\sqrt{1+2x} + 5^x \frac{1}{\sqrt{1+2x}} + \sin x $$ $$ \therefore f'(0)=\ln 5 + 1 $$ Entonces $$ \lim_{x\to 0}\frac{5^x \sqrt{1+2x} -\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(0)=1+\ln 5 $$

Answer 2

SUGERENCIA:

Como $5^x\sqrt{1+2x}-\cos x=5^x(\sqrt{1+2x}-1)+5^x-1+1-\cos x$

$$\implies\dfrac{5^x\sqrt{1+2x}-\cos x}x=5^x\cdot\dfrac{\sqrt{1+2x}-1}x+\dfrac{5^x-1}x+\dfrac{1-\cos x}x$$

Para el primer sumando, racionalizar el numerador

para el último, multiplicar el numerador y el denominador por $1+\cos x$

¿Y la segunda legislatura?

Answer 3

Por lo que has escrito, me parece que tienes dificultades con la derivada de $$y=5^x \sqrt{1+2x}$$ Para este tipo de expresiones (que implican productos o cocientes), la diferenciación logarítmica facilita las cosas $$\log(y)=x\log(5)+\frac 12\log(1+2x)$$ La diferenciación de ambos lados lleva a $$\frac{y'}y=\log(5)+\frac 12 \frac 2{1+2x}=\log(5)+\frac 1{1+2x}$$ Así, multiplicando ambos lados por $y$ , $$y'=\Big(\log(5)+\frac 1{1+2x}\Big)5^x \sqrt{1+2x}$$

Answer 4

Cuando $x$ se acerca a $0$ Las tres expresiones $5^x,\sqrt{1+2x}$ y $\cos(x)$ tienden a $1$ , haciendo que el denominador se acerque $0$ mientras que el denominador también se acerca a $0$ . Para resolver la indeterminación, hay que encontrar "lo rápido" que se acercan las funciones anteriores $1$ .

Primero, $$\lim_{x\to0}\frac{5^x-1}x=\lim_{x\to0}\frac{e^{x\ln(5)}-1}x=\lim_{y=x\ln(5)\to0}\frac{e^y-1}y\ln(5)=\ln(5)$$ por una propiedad conocida de la exponencial. Así que podemos decir que $5^x\approx 1+\ln(5)x$ .

Entonces $$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}x=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}x\frac{\sqrt{1+2x}+1}{\sqrt{1+2x}+1}=\lim_{x\to0}\frac{2x}x\frac1{\sqrt{1+2x}+1}=1,$$

para que $\sqrt{1+2x}\approx 1+x$ .

Entonces

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2\left(\dfrac x2\right)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(\dfrac x2\right)}{\dfrac x2}\sin\left(\dfrac x2\right)=0$$ por una propiedad conocida del seno, y $\cos(x)\approx 1$ .

Si lo juntamos todo, tenemos $$\lim_{x\to0}\frac{(1+\ln(5)x)(1+x)-1}x=\lim_{x\to0}1+\ln(5)+\ln(5)x=1+\ln(5).$$

Answer 5

Utilice las expansiones de Taylor:

$$ 5^x=e^{\ln{(5)}x}=1+\ln{(5)}x+\mathcal{O}(x^2)\\ \sqrt{1+2x}=1+x+\mathcal{O}(x^2)\\ \cos{x}=1+\mathcal{O}(x^2) $$

Combinar:

$$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{5^x\sqrt{1+2x}-\cos{x}}{x} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+\ln{(5)}x)(1+x)-1+\mathcal{O}(x^2)}{x} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{(\ln{(5)}+1)x+\mathcal{O}(x^2)}{x} =\lim_{x\rightarrow0}\,\ln{(5)}+1+\mathcal{O}(x)=\ln{(5)}+1 $$