Categoría donde se establece el morfismo son los grupos abelianos.

Question

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría, y supongo que para todos los objetos de $X, Y$ de $\mathcal{C}$, Mor$_{\mathcal{C}}(X,Y)$ está equipada con la estructura de un grupo Abelian, de tal manera que la composición de morfismos es bilineal.

Ahora puede ser fácilmente demostrado que Mor$_{\mathcal{C}}(X,X) =:$ Final$_{\mathcal{C}}(X)$ es un anillo (en la composición como en la multiplicación). (En la ausencia de conocimiento acerca de la estructura de grupo Abelian, la distributividad todavía surge de bilinearity en este caso).

La siguiente cosa a probar es que $X$ es un "cero"objeto si y sólo si End$_{\mathcal{C}}(X)$ es el cero del anillo. Ahora veo que este "cero" objeto toma la forma de un trivial de grupo en grupo de teoría, cero anillo en forma de anillo en teoría, el espacio de $\{0\}$ como un espacio vectorial, etc., pero no he venido a través de una clara forma general de este concepto, lo que hace que sea difícil demostrar la declaración de un objeto general $X$ de este lugar de la categoría general de $\mathcal{C}$.

Answer 1

Un cero objeto de $X$ se define como un terminal y un objeto inicial, es decir, hay exactamente una flecha $A\to X$ y exactamente una flecha $X\to A$.

Desde cada una de las $\hom(A,B)$ es un grupo Abelian, siempre tiene un elemento cero, llame a $0_{AB}$.
Tenga en cuenta que bilinearity implica $0_{AB}\circ f=0_{XB}$ cualquier $f:X\to A$.

Ahora, si $X$ es un cero de objetos, también se $\hom(X,X) $ tiene un solo elemento, por lo tanto $1_X=0_{XX}$, por lo que debe ser el cero del anillo.

Por el contrario, si $\hom(X,X)$ es el cero del anillo, tenemos $1_X=0_{XX}$ y por lo tanto, para cualquier $f:A\to X$, tenemos $$f=1_X\circ f=0_{XX}\circ f=0_{AX}$$ Así que no hay una única flecha $A\to X$.
Y del mismo modo, $0_{XA}$ es la única flecha $X\to A$.