Unicidad en$C([0,T])$ de la solución encontrada por el teorema de Picard-Lindelof

Question

Declaración completa de la pregunta:

Supongamos $\alpha \in \mathbb{R}$, también se $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f \in C^{1}(\mathbb{R}), and f(0) = 0$

Considere el siguiente HIMNO:

$\partial_{t} u(t) = f(u(t)), \ \text{for} \ 0 < t < T $

$u(0) = \alpha $

donde $u:[0,T] \rightarrow \mathbb{R}$ es desconocido, y la integral de la ecuación:

$u(t) = \alpha + \int^{t}_{0} f(u(s)) \text{d}s, \ 0<t<T $

Demostrar que no existe $T>0$ tal que la integral anterior ecuación tiene una única solución a $u \in C([0, T])$. Además, muestran que la $u$ satisface $u \in C^{1}([0, T])$ y por encima de la educación a distancia.

Mi Pregunta:

Me han mostrado apenas alrededor de cada punto de esta pregunta, mediante el uso de la Picard-Lindelof teorema en el siguiente conjunto:

$X = \{ u \in C([0,T]) : u(0) = \alpha , || u - \alpha || \leq K\}$,

donde $K \in \mathbb{R}_{> 0} , \ \alpha \in \mathbb{R}$ y la norma es $|| u || = ^{\text{sup}}_{t \in (0,T)} |u(t)|$.

Sin embargo, mientras que esto demuestra que existe un $T>0$ que una solución única en $X$ existe, no puedo entender cómo mostrar una solución de este tipo es único en todos los de $C([0,T])$. Por favor alguien puede informarme como puedo mostrar esto?

Answer 1

Su obra hasta el momento, ha demostrado que existe una solución de $u$ , la cual es única en el subconjunto $B_K(\alpha)$ ( $K$ pelota alrededor de la función constante $\alpha$ en $C([0,t])$. Queremos mostrar esta función es, de hecho, único en todo el espacio $C([0,t])$.

Supongamos $v \in C([0,t])$ es una solución para el IVP, y deje $\tau = \inf\left(\{T\} \cup \{t: t < T, |v(t) - \alpha| > K\}\right)$. Tenga en cuenta que, desde el $v$ es continua y $v(0) = \alpha$, debemos tener la $\tau > 0$.

Observar que, $$u, v \in Y := \{w \in C([0,\tau]) : \sup_{[0,\tau]} |w(t) -\alpha| \leq K\}$$ y como corolario de la Picard-Lindelof contracción argumento que ha realizado, se puede concluir que $u \equiv v$ a $[0,\tau]$ (intuitivamente, todavía podemos obtener la unicidad si nos fijamos en un corto tiempo-escala). Si $\tau = T$, a continuación, $u \equiv v$ en $C([0,t])$. Dado que este es el resultado que queremos, nuestro objetivo ahora es mostrar que $\tau < T$ da una contradicción.

Supongamos $\tau < T$, y deje $\beta = u(\tau)$. Por la definición de $\tau$, para cualquier $\tau < s < T$, $|v(s)| > K \geq |u(s)|$. Esto significa que el IVP $$\left\{\begin{array}{cc} \partial_s w(s) = f(w(s)) &\qquad \tau < t < T\\ w(\tau) = u(\tau)& \end{array}\right.$$ tiene dos soluciones en cualquier conjunto $Z = \{w \in C([\tau, T^*]) : \lVert w - \beta \rVert < M\}$ cualquier $M > 0$ e $T^* > \tau$, desde el $u$ e $v$ al instante separado después de tiempo $\tau$. Pero, se demostró anteriormente que siempre podemos encontrar un "local único" solución a esta ODA, así que esto es una contradicción.

Answer 2

En el estándar de prueba de la Picard-Lindelöf existencia y unicidad teorema de PIV en la instalación de un servicio autónomo de educación a distancia, primero corrige algún valor para el radio de $K$ (de modo que, al menos, la bola de radio $K$ está contenida en el dominio de $f$). A continuación, se obtiene el máximo de $M$ de la norma de valores de la función de $\|f(x)\|$ sobre el balón $x\in \bar B(α,K)$. Ahora la condición de $MT\le K$ proporciona una primera obligado para $T$. Se asegura por el valor medio teorema de que cualquier solución de $u\in C([0,T])$ del valor inicial del problema, si es que existe, se queda dentro de la pelota, como $$ \|u(t)-α\|=\left\|\int_0^tf(u(s))\,ds\right\|\le\int_0^t\|f(u(s))\|\,ds\le Mt\le MT\le K\tag1 $$ Es decir, cualquier función en $C([0,T])$ que resuelve el IVP se incluye automáticamente en $X$.

Próximo reduce aún más el intervalo de tiempo mediante la adición de la restricción $2LT\le 1$ donde $L$ es el local de la constante de Lipschitz de $f$ a $B(α,K)$ a garantizar contractivity de la integral operador en la norma máxima. Con todo lo que ahora se fija de aplicar la Banach de punto fijo teorema que garantiza la existencia real de una solución local en $X$ así como su singularidad. Para repetir, por la construcción de $T=\min(\frac{K}M,\frac1{2L})$, no puede haber soluciones en $C([0,T])$ que están fuera de la $X$, ver la desigualdad (1).

Como consecuencia de que uno se de que cualquier solución en $C([0,b))$, $b>T$, cuando se limita a $[0,T]$ tiene que coincidir con esta solución local. La aplicación repetida de que el argumento también puede servir para mostrar que la solución es única, mientras que existe. Porque si ese no fuera el caso, no sería un primer punto de $t_0$ donde dos soluciones difieren unos de otros, resp. el último punto en el que están siendo el mismo. Sin embargo, la urografía EXCRETORA con $u(t_0)$ como valor inicial en $t=t_0$ tiene una única solución local, por lo $t_0$ puede no ser el mínimo bajo consideración.