Demostrar que $m\mathbb{Z}$ es un subgrupo de $n\mathbb{Z} \iff m|n $

Question

Demuestra que $m\mathbb{Z}$ es un subgrupo de $n\mathbb{Z} \iff n|m $

Creo que mi solución para una forma de esto es correcta:

$\Rightarrow$ Supongamos que $m \mathbb{Z}$ es un subgrupo de $n\mathbb{Z}$ entonces $m \mathbb{Z}$ es un subconjunto de $n\mathbb{Z}$

Por lo tanto, $m$ es un elemento de $n\mathbb{Z}$ , $m=nz$ para algunos $z$ en $\mathbb{Z}$

Y así $n|m$ según sea necesario.

Para la inversa, ¿puedo hacer estos pasos a la inversa o debo hacer algo más?

Answer 1

Sí, en este contexto específico, recorrer sus argumentos en orden inverso en realidad proporciona una prueba de la afirmación contraria. (Obviamente, este no es el caso de las pruebas "si y sólo si").

Podría decirse que la última afirmación de la prueba resultante, en la que concluimos que $m\in n\mathbb Z$ -- debe ser seguido por algo de la forma: "... y desde $m$ genera $m\mathbb Z$ Esto demuestra que $m\mathbb Z$ es un subgrupo de $n\mathbb Z$ ."

Answer 2

Supongamos que $n\mid m $ lo que significa que $m=nc $ para algunos $c\in \mathbb{Z}$ . El conjunto $n\mathbb{Z}$ es el conjunto de todos los enteros de la forma $N=nz$ para algunos $z\in \mathbb{Z}$ . Ahora vamos a ver en el set $m\mathbb{Z} $ es el conjunto de todos los enteros de la forma $M=mz=(nc)z=n(cz)$ para algunos $z,c\in \mathbb{Z}$ Ahora podemos ver claramente cada elemento $M\in \mathbb{mZ}$ está en $\mathbb{nZ}$ . Por lo tanto, $\mathbb{mZ}\subseteq\mathbb{nZ}$ e incluso podemos decir $\mathbb{mZ}=\mathbb{nZ}$ .