¿Puede esta expresión ser simplificada? (Doble integral sobre una esfera en$\mathbb{R}^3$.

Question

Supongamos $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ es una función integrable (estoy abierto a restringir más la $f$, por ejemplo, $f$ puede ser asumido para ser suave).

Para algunas constantes $0<r\leq R$, hay una manera de simplificar la expresión $$\int_{\lvert y \rvert = R}\int_{\lvert x\rvert =r} f(x+y) \,\mathrm{d} (x)\mathrm{d}S(y)$$ a una expresión que no implican la superficie de las integrales?

Answer 1

Vamos a comenzar por escribir la integral como $$I = \int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} f(x+y) \delta(|x|-r) \delta(|y|-R)\, {\rm d}^3x {\rm d}^3y$$ donde $\delta$ es de Dirac de la función delta. El cambio de las variables a $(z,y) = (x+y,y)$ tenemos $$\begin{align} I &= \int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} f(z) \delta(|z-y|-r) \delta(|y|-R)\, {\rm d}^3y {\rm d}^3z \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} f(z) \Big(\int_{\mathbb{R}^3}\delta(|z-y|-r) \delta(|y|-R)\, {\rm d}^3y \Big) {\rm d}^3z\end{align}$$ Para $0\le r \le R$, se puede calcular que Para calcular el $\int_{\mathbb{R}^3}\delta(|z-y|-r) \delta(|y|-R)\, {\rm d}^3y$ que nos permiten utilizar coordenadas esféricas para $y$ donde el ángulo de $\theta$ se mide desde la dirección de $z$, por lo que $$|y| = \rho$$ $$|z-y| = \sqrt{(|z|-\rho\cos\theta)^2 + (\rho\sin\theta)^2} = \sqrt{\rho^2 - 2\rho|z|\cos\theta + |z|^2}$$ Tenemos a continuación $$\begin{align} & \int_{\mathbb{R}^3}\delta(|z-y|-r) \delta(|y|-R)\, {\rm d}^3y = \\ &\quad = \int_0^\infty {\rm d}\rho\int_0^{\pi}{\rm d}\theta\int_0^{2\pi}{\rm d}\phi\,\rho^2\sin\theta \delta(\sqrt{\rho^2 - 2\rho|z|\cos\theta + |z|^2}-r) \delta(\rho-R) = \\ &\quad = 2\pi R^2 \int_0^{\pi}{\rm d}\theta \sin\theta \;\delta(\sqrt{R^2 - 2R|z|\cos\theta + |z|^2}-r)=^{u:=\sqrt{R^2 - 2R|z|\cos\theta + |z|^2}}\\ &\quad = 2\pi R^2 \int_{|R-|z||}^{R+|z|} {\rm d}u \frac{u}{R|z|} \delta(u-r)= \\ &\quad = \frac{2\pi R}{|z|} \int_{-\infty}^\infty {\rm d}u \,u \,\theta((R+|z|)-u)\theta(u - \big|R-|z|\big|)\delta(u-r)=\\ &\quad = \frac{2\pi R r}{|z|} \,\theta((R+|z|)-r)\theta(r - \big|R-|z|\big|)=\\ &\quad = \frac{2\pi R r}{|z|} \,\theta((R+|z|)-r)\theta(r - (R-|z|))\theta(r - (|z|-R))=\\ &\quad = \frac{2\pi R r}{|z|} \,\theta(|z|+(R-r))\theta(|z| - (R-r))\theta(R+r - |z|) = ^{\text{since }|z|>0, R-r>0}\\ &\quad = \frac{2\pi R r}{| z|} \theta\big(|z|-(R-r)\big)\theta\big(R+r-|z|\big) \end{align}$$ donde $\theta$ es de Heaviside de la theta de la función.

En el extremo usted consigue $$I = 2\pi R r \int_{|z|\in[R-r, R+r]} \frac{f(z)}{|z|} {\rm d}^3z$$

Answer 2

Si trabaja en el espacio de Fourier, puede escribir $f(x+y)=\int e^{ik(x+y)}\hat{f}_k dk$ y puede separar la integral a $\int dk \hat{f}_k \int e^{ikx} dS(x) \int e^{iky}dS(y)$ .