Prueba de$f\in L^1(\mathbb R)$ luego$m\{x\mid |f|=\infty \}=0$. Es mi prueba correcta.

Question

Deje $f\in L^1(\mathbb R)$. A continuación, $f$ es finito una.e. Hice la siguiente prueba y mi profesor me dio una marca de $0$. Lo que hice es : Vamos a $E=\{x\mid |f(x)|=\infty \}$. Tenemos que$$ \int_E|f|\leq \int_{\mathbb R}|f|$$ Si $m(E)>0$ entonces $$\int_E|f|=\infty \cdot m(E)=\infty,$$ y por lo tanto $\int_{\mathbb R}|f|=\infty $ lo cual es una contradicción.

Él dice que $a\cdot \infty =\infty $ para $a>0$ es más que una convención de algo formal. Después de justificar que si mi prueba es válida, entonces alguien puede hacer la prueba de $$\infty \cdot m(E)=\int_E|f|\leq \int_{\mathbb R}|f|<\infty ,$$ y por lo tanto $m(E)=0$. Que no es completamente malo, pero con rigor $\infty \cdot 0$ es undeterminated. Así es que él no aceptó mi prueba.

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Estoy un poco confundir, porque para mí es una prueba válida. ¿Qué te parece ?

Answer 1

Su argumento puede ser rigurosa, pero al observar los convenios para la multiplicación con $\infty$ debe ser entendido en términos de límites.

Supongamos por simplicidad que $f \ge 0$ y que $E = \{f = \infty\}$. Para todos los $n \ge 1$ ha $n \chi_E \le f$ así que por la monotonía de la integral $$n \cdot m(E) = \int_{\mathbf R} n \chi_E \le \int_{\mathbf R}f$$

En el límite de obtener (formalmente) $\infty \cdot m(E) \le \displaystyle \int_{\mathbf R} f < \infty$, pero la contradicción de la siguiente manera a partir de la observación de que, si $m(E) > 0$ usted puede seleccionar $$n > \frac 1{m(E)} \int_{\mathbf R} f.$$

Answer 2

En primer lugar, desde la $\infty$ no es un número, $\infty\cdot |E|$ no tiene sentido si $|E|=0$. Por ejemplo, $$ n\cdot\frac1n=1$$ lo que conduce a $$ \infty\cdot0=1.$$ En segundo lugar, usted asume la $|E|>0$ conseguir $$ |E|\le\frac1{\infty}\int_R|f|dx=0 $$ y, por tanto, $|E|=0$ que está en contra de su hipótesis de $|E|>0$. Para anular esto, se puede definir $$ E_n=\{x\in R: |f(x)|\ge n\} $$ y, a continuación, $$ \lim E_n=E. $$ Desde $$ \int_R|f(x)|dx \ge \int_{E_n}|f(x)|dx\ge n|E_n|$$ uno tiene $$ |E_n|\le \frac1n \int_R|f(x)|dx.$$ Así $$ \lim |E_n|=0 $$ o $$ |E|=0.$$