Algebraic de Rham Cohomology of Projective space over$\mathbb{C}$

Question

Estoy buscando a entender algebraica de Rham cohomology un poco mejor, y me di cuenta de que yo realmente no entiende algo de lo que debe ser bastante elemental. Tomemos, por ejemplo, $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$. Sabemos que la algebraicas de Rham Cohomology $\mathbb{H}^2(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}},\Omega^{\bullet}_{alg})$ debe ser unidimensional (por ejemplo, ya que es isomorfo a singular cohomology para este espacio). Pero podrían escribir un representante para un cohomology de la clase que la genera?

La definición algebraica de de Rham cohomology es bastante abstracto, con la toma de una resolución de la compleja $\Omega^{\bullet}_{alg}$ etc. pero me preguntaba si en simple, pero todavía no afín, los casos algo explícito puede decirse acerca de él? Tal vez otro ejemplo podría ser $Q \subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{C}}$ - un quadric de dimesion 2 en proyectivos 3-espacio, que tiene un no-trivial segundo cohomology así. Cualquier conduce sería genial.

Answer 1

En lo que sigue, siempre asuma $X$ a de una superficie de Riemann - por lo que uno debería esperar que ${\mathbb H}^2 (X,\Omega^\bullet)$ a Hodge de la teoría de $H^{(1,1)}$.

Versión 1: En la topología compleja, $(\Omega^\bullet,\partial)$ es cuasi-isomorfo a el de Rahm complejo de poleas $({\cal A}^\bullet, d)$ (con $d = \partial +\overline\partial$): por un lado, tenemos la $d$-Poincaré lema; en los otros, a nivel local podemos integrar cualquier holomorphic diferencial de la forma para obtener un holomorphic función - que es lo suficientemente bueno para superficies de Riemann. [Según Griffith y Harris, p 448, la correspondiente declaración ($\partial$-Poincaré) es verdadera en dimensiones superiores/grados.]

Sea como sea, por consiguiente, se puede calcular la algebraicas de Rham el uso de de Rham de de Rham Escribir... ${\cal A}^k= \sum_ {p+q =k} {\cal A}^{(p,q)}$, donde ${\cal A}^{(p,q)}$ es el (suave) gavilla de $(p,q)$ formas diferenciales, y escribir $d = \partial + \overline\partial$. El espectro de la secuencia (filtración en la $p$) degenera en la $E_1$ plazo, con $E_1^{p,q} = H^q_{\overline\partial}(A^{(p,\bullet)})$, donde $A^{(p,q)}$ mundial secciones de ${\cal A}^{(p,q)}$. Por lo tanto, en el caso de $X$ una superficie de Riemann, uno tiene la identificación de ${\mathbb H}^2(X, \Omega^{\bullet}_{alg}) = H^1_{\overline\partial}(A^{(1,\bullet)} )= H^1(X, \Omega^1)$. En esta analítica/cálculo de ajuste, uno puede elegir como generador de $H^{(1,1)}$ la clase de Chern de la línea bundle ${\cal O}(\infty)$, o el Fubini-Estudio Kaehler forma...

Versión 2 ( más algebraicas, y/pero más débil): Si $C$ es un complejo, escribir $C[k]$ para el mismo complejo, pero cambia de manera que $C[k]^n = C^{k+n}$. Luego, en el caso de una curva de $X$, tiene una secuencia exacta de (gavilla) complejos $$0\to\Omega^1[-1]\to \Omega^{\bullet}_{alg} \to {\cal O} \to 0,$$ con el "abuso de notación' de identificar un término complejo, con su correspondiente plazo. (Tenga en cuenta que esto tiene sentido como una secuencia de complejos - no tendría sentido para intercambiar el exterior [cero] términos.)

Toma (hiper-)cohomology da el largo de la secuencia exacta $$\cdots \to H^1(X, {\Omega}^1[1])\to {\mathbb H}^1(X, \Omega^{\bullet}_{alg}) \to H^1(X, {\cal O}) \to \\ H^2(X, \Omega^1[-1]) \to {\mathbb H}^2(X, \Omega^{\bullet}_{alg}) \to H^2(X, {\cal O}) \to \cdots.$$

Pero, por un lado, $H^k(X, \Omega^1[-1]) = H^{k-1}(X, \Omega^1)$. En el otro, en el caso de $X={\mathbb P}^1(\mathbb C)$, $H^1(X, {\cal O})$ e $H^2(X,{\cal O})$ se desvanecen. [Una vez más, el uso de Hodge teoría, no tendríamos necesidad de depender de esto]. Por lo tanto, uno puede identificar $${\mathbb H}^2(X, \Omega^{\bullet}_{alg}) = H^1(X, \Omega^1) .$$ Así, con $X = {\mathbb P}^1({\mathbb C})$, en términos de Cech cohomology, $H^1(X, \Omega^1)$ es atravesado por la clase de) $dz/z$ en el conjunto abierto ${\mathbb P^1}({\mathbb C}) \setminus \{0, \infty \}$.

En el de arriba, yo estaba tomando el hypercohomology de un complejo sistema de poleas $\cal C$ (hasta un único isomorfismo) la homología de los complejos de los módulos de global secciones $\Gamma(X, {\cal I})$, donde ${\cal I}$ es un complejo de injectives cuasi-isomorfo a ${\cal C}$.

Esta respuesta es, obviamente, no es muy satisfactorio. Aún así, la esperanza de que era de un poco de ayuda... Si alguien se siente igual que la limpieza de este, o la mejora de la/reescritura, en lugar de escribir su propia respuesta, estoy feliz de hacer de esta una comunidad de respuesta.

Comentario/Edit: vale, notando de forma explícita que el G-H $\partial$-Poincaré declaración de ${\cal H}^k(\Omega^{\bullet}) =0$ para $k>0$ NO se sostiene en la topología de Zariski. Por ejemplo, $dz / z$ no tiene una expresión algebraica de la anti-derivada en cualquier conjunto abierto.

Answer 2

Para una gavilla $\mathcal{F}$ a $\mathbb{P}^1$ y un $U$ en $\mathbb{P}^1$, escribir $\mathcal{F}_U$ de la gavilla que toma un abrir $V$ a $\mathcal{F}(U \cap V)$. (Esto es $\iota_* \mathcal{F}|_U$ en lenguaje elaborado.)

Deje $U = \mathbb{P}^1 \setminus \{\infty\}$ e $V= \mathbb{P}^1 \setminus \{0\}$. A continuación, obtenemos un acíclicos de la resolución del complejo

$0 \a \mathcal{S} \\ \Omega \to 0$

en $\mathbb{P}^1$ por la toma del complejo $$0 \a \mathcal{S}_U \oplus \mathcal{S}_V \a \mathcal{S}_{U \cap V} \oplus \Omega_U \oplus \Omega_V \a \Omega_{U \cap V} \a 0.$$ Todas las poleas de los involucrados son acíclicos porque ellos son apoyados en cuñados. Los mapas son, respectivamente: $(f, g) \mapsto (f - g, df, dg)$ e $(\phi, \omega, \eta) \mapsto d\phi + \omega - \eta$.

(Tres notas: uno, un poco de abuso de notación en la definición de estos mapas, hemos suprimido las restricciones de una función o la forma de su dominio a un menor dominio de la notación.

Dos, cada suave curva proyectiva puede ser cubierto por dos cuñados, y de la misma resolución obras para cada una suave curva proyectiva.

Tres, es razonable preguntarse cómo usted podría pensar de esta resolución. El punto es que hemos tomado la Cech resolución de $\Omega$ e $\mathcal{O}$ por separado, luego se toma el complejo total de los asociados doble complejo. Ver Kedlaya del artículo que he dejado en un comentario para más detalle, y una prueba de esto siempre funciona.)

Digamos que estamos trabajando en característica cero (las definiciones de sentido en el carácter $p$ pero no se suelen utilizar desde el cohomology teoría no satisface Weil axiomas). Tomando global de las secciones y de computación de homología, obtenemos $$H^0(\mathbb{P}^1) = \{(f, g) \in \mathcal{S}(U) \oplus \mathcal{S}(V) \ | \ (f - g, df, dg) = (0, 0, 0)\}.$$ Ya en característica cero $df = 0$ implica $f$ es constante, esto muestra $H^0$ es unidimensional generado por $(\lambda, \lambda)$. (La misma prueba para cualquier suave curva proyectiva.)

Ahora el interesante caso, $$H^1(\mathbb{P}^1) = \frac{ \{ (\phi \omega \eta) \in \mathcal{S}(U \cap V)\oplus \Omega(U)\oplus \Omega{O}(V)\ | \ d\phi = \omega \eta\} } { \big\{(\phi \omega \eta): \phi \text{ puede ser escrito como una diferencia } f - g \text{ donde} f \text{ extiende a una función en } U \\ \ \ \ \ \text{ y } g \text{ extiende a una función en } V \text{ y } df = \omega \text{ y } dg = \eta \big\}}.$$

Esto parece detallado, pero en realidad es $0$, que se puede ver por dejar a $z$ ser un uniformizer en $0$ e escrito todo en términos de polinomios de Laurent en $z$, explícitamente, a continuación, tomar antiderivatives. La clave es que usted no puede conseguir cualquier $dz/z$ términos como estos no son ni regular en $0$ o $\infty$, pero puede antidifferentiate cualquier otra cosa.

Finalmente, $H^2(\mathbb{P}^1)$ se identifica con las formas admitidas en $\Omega_{U \cap V}$ mod exacta de las formas, y el mod de la imagen de los mapas de restricción de $\Omega_U$ o $\Omega_V$. De nuevo el uso de polinomios de Laurent, vemos que este espacio es generado por la imagen de $\frac{dz}{z}$.