Polinomios y factores primos.

Question

Así que he estado pensando acerca de esta pregunta para las edades, pero no he hecho ningún progreso.

Necesito demostrar que para cada $f(X) \in \mathbb{Z}[X]$ con $f(0) = 1$, existe un $n \in \mathbb{Z}$ tal que $f(n)$ es divisible por al menos 2019 distintos números primos.

La única cosa que he visto es que esto es fácil de demostrar al $f(X)$ tiene una raíz en $\mathbb{Z}$ pero para el resto no he hecho ningún progreso?

¿Alguien sabe cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Supongamos que usted sabe $f(x)$ tiene una raíz $r_i$ modulo de un primer $p_i$, $m$ diferentes tales números primos.

Deje $P_m$ ser el producto de la $m$ números primos.

Entonces a partir de la $f(0) = 1$, esto indica que $$ f(kP_m) \equiv 1\no\equiv 0 \pmod{ p_i} $$ para cualquier entero $k$. Así que ninguno de los existentes $m$ primos dividir este.

Eligiendo $k$ lo suficientemente grande, este no es cero (ya que un polinomio sólo tiene un número finito de raíces) y por lo tanto debe haber un primer factor $p_{m+1}$ no es el mismo que el actual $m$ lo han encontrado. De este modo se obtiene una nueva raíz $kP_m$ y prime $p_{m+1}$. es decir, $$ f(kP_m) \equiv 0 \pmod{p_{m+1}} $$

Así que usted puede encontrar la solución a $$ f(r_i) \equiv 0 \pmod{p_i} $$ por arbitrariamente muchos primos $p_i$.

Por último, puede utilizar el Teorema del Resto Chino para encontrar una raíz común, $r$ para todos estos números primos. De modo que $f(r)$ será divisible por cada uno de los $p_i$.