Supongamos un grupo finito $G$ tiene más de un subgrupo Sylow-2 y dos cualesquiera se cruzan trivialmente. Mostrar $G$ contiene exactamente una clase de conjugación de involuciones.
Estas son algunas de mis ideas: Supongamos que no, entonces existen involuciones $s,t$ de manera que no sean conjugados.
$s,t$ genera un grupo diédrico $D_{2n}$ . $n$ es incluso desde $s,t$ no son conjugados en $D_{2n}$ .
Si $n$ no es una potencia de 2, entonces $D_{2n}$ tiene más de un subgrupo Sylow 2 y $D_{2n}$ son generados por ellos. Pero dos subgrupos cualesquiera de Sylow 2 de $D_{2n}$ tiene una intersección no trival, y dos subgrupos Sylow-2 cualesquiera de G se intersecan trivalmente, por lo que todos los subgrupos Sylow 2 de $D_{2n}$ debe estar en el mismo subgrupo Sylow-2 de $G$ . Así que $D_{2n}$ se encuentran en un subgrupo Sylow-2 de $G$ Esto lleva a una contradicción.
Pero, ¿y si $n$ es una potencia de 2?
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Nótese que sus argumentos funcionarían con cualquier par de involuciones no conjugadas, y la conclusión hasta ahora es que generan un subgrupo de orden $2^n$ para algunos $n$ . Así que están contenidos en el mismo Sylow $2$ -subgrupo. ¿Qué le dice esto?
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Creo que el nombre del autor del libro en cuestión es Isaacs y no Issac, que es un acrónimo de International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation.