Problema 2B.4 en Teoría de grupos finitos por Isaacs

Question

Supongamos un grupo finito $G$ tiene más de un subgrupo Sylow-2 y dos cualesquiera se cruzan trivialmente. Mostrar $G$ contiene exactamente una clase de conjugación de involuciones.

Estas son algunas de mis ideas: Supongamos que no, entonces existen involuciones $s,t$ de manera que no sean conjugados.

$s,t$ genera un grupo diédrico $D_{2n}$ . $n$ es incluso desde $s,t$ no son conjugados en $D_{2n}$ .

Si $n$ no es una potencia de 2, entonces $D_{2n}$ tiene más de un subgrupo Sylow 2 y $D_{2n}$ son generados por ellos. Pero dos subgrupos cualesquiera de Sylow 2 de $D_{2n}$ tiene una intersección no trival, y dos subgrupos Sylow-2 cualesquiera de G se intersecan trivalmente, por lo que todos los subgrupos Sylow 2 de $D_{2n}$ debe estar en el mismo subgrupo Sylow-2 de $G$ . Así que $D_{2n}$ se encuentran en un subgrupo Sylow-2 de $G$ Esto lleva a una contradicción.

Pero, ¿y si $n$ es una potencia de 2?

Answer 1

Gracias a un comentario, lo he resuelto de la siguiente manera.

Mi argumento muestra que dos elementos no conjugados cualesquiera generan un grupo diedro cuyo orden es una potencia de 2. Por tanto $s,t$ y $s,gtg^{—1}$ se encuentra en un mismo subgrupo Sylow-2 de G, para todo $g\in G$ . Por tanto, sólo tiene un subgrupo Sylow-2, lo que es una contradicción.