La mensurabilidad de Lebesgue (LM), la propiedad de Baire (BP) y la propiedad del conjunto perfecto (PSP) son probablemente las más destacadas entre todas las propiedades de regularidad de conjuntos de reales. Un conjunto puede satisfacer cualquiera de estas propiedades o no, lo que nos deja con 8 combinaciones posibles de LM, BP y PSP.
Por si acaso, hace poco intenté construir ejemplos para estas 8 combinaciones. Pude hacerlo para 7 de ellas. Esto me lleva a mi pregunta:
¿Existe, de forma demostrable en ZFC, un conjunto de reales que sea medible por Lebesgue, tenga la propiedad de Baire, pero no la propiedad de conjunto perfecto?
Sé que la existencia de tal conjunto es consistente tanto con CH como con $\neg$ CH. Por un lado, en $L$ hay un $\Pi_1^1$ -que no tiene la PSP y siendo $\Pi_1^1$ ciertamente hace que satisfaga la LM y la BP. Por otro lado, en un modelo de $\neg$ CH donde $\operatorname{non}(\mathcal N)=\operatorname{non}(\mathcal M)=2^{\omega}$ cualquier conjunto de reales de tamaño $\omega_1$ sería un ejemplo. Aquí, $\operatorname{non}(\mathcal N)$ y $\operatorname{non}(\mathcal M)$ son el menor cardinal de un conjunto de reales que no es LM, respectivamente no tiene BP.
Los ejemplos estándar de conjuntos sin PSP son los conjuntos de Bernstein, es decir, los conjuntos $B\subseteq\mathbb R$ para el que tanto $B$ y $\mathbb R\setminus B$ cumplir con cualquier conjunto perfecto. Sin embargo, estos no son LM y no tienen el BP también.
