¿Confianza dos dados sesgados son los mismos?

Question

Tengo 2 sesgada de dados (die 1 y mueren 2) y quiero calcular el % de confianza son los mismos (o diferente), dado $n_1$ rollos de la primera morir y $n_2$ rollos de la segunda.

Conceptualmente, me gustaría esperar que, inicialmente, la confianza de que eran los mismos (o diferente) serían $0$, y como $n_1$ e $n_2$ aumento hacia la $∞$ la confianza enfoque de $100\%$ que son los mismos (o diferente).

Es relativamente trivial para generar una curva de distribución de la probabilidad de obtener un valor específico en cada morir, pero claro ¿cómo comparar las 2 curvas de distribución (uno de cada morir) para determinar la confianza de que ellos son el mismo o no.

Answer 1

Deje $p_{k}$ denotar los parámetros de la $k$-th morir (un vector de probabilidades correspondientes a cada lado) y deje $\hat{p}_{k,n}$ se muestra analógica (proporción de la muestra). Una posible medida de similitud entre los dados es $$S(p_1,p_2):=1-\frac{d(p_1,p_2)}{\max_{p,q\in \Xi}d(p,q)},$$ donde $d(\cdot,\cdot)$ es una distancia en $\mathbb{R}^6$ e $\Xi$ es la unidad simplex. Tenga en cuenta que $S(p,p)=1$ e $S(r,s)=0$ para $(r,s)=\operatorname{argmax}_{p,q\in S}d(p,q)$. Desde $\hat{p}_{k,n}\to p_{k}$ a.s., la versión de muestra $\hat{S}:=S(\hat{p}_{1,n_1},\hat{p}_{2,n_2})$ converge a.s. a $S(p_1,p_2)$.

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Desde $\hat{S}$ es aleatorio, la obtención de un número en particular no proporcionan la información (incluso si el verdadero parámetros son los mismos, en particular la realización de $\hat{S}$ puede estar cerca de $0$). Una forma estadística para evaluar la similitud entre dos distribuciones sería prueba la siguiente hipótesis: $$H_0:p_1=p_2, \\ H_1:p_1\ne p_2.$$

En primer lugar, por la CLT, $$\sqrt{n}\left(\hat{q}_{k,n}-q_k\right)\xrightarrow{d}N(0,V_k),$$ donde $q_k= p_{k,1:5}$, $\hat{q}_{k,n}=\hat{p}_{k,n,1:5}$, e $V_k=\operatorname{diag}(q_k)-q_k q_k^{\top}$.

Suponga que el tamaño de la muestra se $n_l$ e $m_l$ tal que $n_l,m_l\to \infty$ e $m_l/n_l\to 1$ como $l\to\infty$, y deje $r_l=(n_l+m_l) / 2$. Desde $\hat{p}_{1,n_l}$ e $\hat{p}_{2,m_l}$ son independientes, $$\sqrt{r_l}\left(\hat{q}_{1,n_l}-q_1\right)-\sqrt{r_l}\left(\hat{q}_{2,m_l}-q_2\right)\xrightarrow{d} N(0,V_1+V_2).$$

Por lo tanto, se puede considerar el siguiente estadístico de prueba: $$T_l:=r_l(\hat{q}_{1,n_l}-\hat{q}_{2,m_l})^{\top}(V_1+V_2)^{-1}(\hat{q}_{1,n_l}-\hat{q}_{2,m_l}).$$ En virtud de $H_0$, $V_1=V_2$ e $T_l\xrightarrow{d}\chi_5^2$ (en la práctica, $V_k$ es reemplazado por cualquier estimador coherente). Por lo tanto, se rechaza el $H_0$ cuando $T_l>\chi_{5,1-\alpha}^2$, donde $\chi_{5,1-\alpha}^2$ es el $(1-\alpha)$-cuantil de $\chi_5^2$.