Basado en el espacio, los desplazamientos en el diagrama hasta homotopy, doble Barratt-Puppe secuencia.

Question

Para un mapa $f : X \to Y$, definir la "homotopy fibra" $Ff$ $$Fd = X \times_f PY = \{(x, \chi) : f(x) = \chi(1)\} \subset X \times PY.$$Equivalently, $Ff$ es el pullback se muestra en el diagrama

                                                                        

donde $\pi(x, \chi) = x$. Como un retroceso de un fibration, $\pi$ es un fibration.

Si $\rho: Nf \to f$ está definido por $\rho(x, \chi) = \chi(0)$, $f = \rho \circ \nu$ donde $\nu(x) = (x, c_{f(x)})$, e $Ff$ es la fibra $\rho^{-1}(*)$. Así, el homotopy fibra $Ff$ es construido por primera colocación de $f$ por el fibration $\rho$ y luego en el real de la fibra.

Deje $\iota: \Omega Y \to Ff$ ser la inclusión especificados por $\iota(\chi) = (*, \chi)$. La secuencia$$\dots \to \Omega^2 X \overset{\Omega^2 f}{\longrightarrow} \Omega^2Y \overset{-\Omega\iota}{\longrightarrow} \Omega Ff \overset{-\Omega\pi}{\longrightarrow} \Omega X \overset{-\Omega f}{\longrightarrow} \Omega Y \overset{\iota}{\to} Ff \overset{\pi}{\to} X \overset{f}{\to} Y$$is called the fiber sequence generated by the map $f$; here$$(-\Omega f)(\zeta)(t) = (f \circ \zeta)(1 - t) \text{ for }\zeta \in \Omega X.$$Estos "largo exacto de las secuencias de la base de espacios" también dar lugar a largas secuencias exactas de punta fija, covariantly.

Teorema. Para cualquier basado en el espacio $Z$, la inducida por la secuencia$$\dots \to [Z, \Omega F f] \to [Z,\Omega X] \to [Z, \Omega Y] \to [Z, Ff] \to [Z, X] \to [Z, Y]$$is an exact sequence of pointed sets, or of groups to the left of $[Z, \Omega Y]$, or of Abelian groups to the left of $[Z, \Omega^2Y]$.

La exactitud es claro en la primera etapa. Para ver esto, considere el diagrama de

                                                       

Aquí $h: c_* \simeq f \circ g$, y vemos a $h$ como un mapa de $Z \to PY$. Así, podemos comprobar la exactitud mediante el uso de cualquier homotopy levante $g$ a la fibra.

Yo reclamo que, hasta homotopy de equivalencia, cada consecutivos par de mapas en mi fibra secuencia está compuesto de un mapa y la proyección de su fibra en su origen. Ello implicará la fuente. Observo que, para que cualquier mapa de $f$, el intercambio de coordenadas da un homeomorphism$$\Omega F f \cong F(\Omega f)$$tal que el siguiente diagrama conmuta:

                                                

Aquí $\tau$ se obtiene intercambiando el bucle de coordenadas y es homotópica a − \text{id}. Tenemos $\iota(f)$, $\pi(f)$, etc., para indicar los mapas a los que el genérico construcciones $\iota$ $\pi$ se aplica. El uso de este inductivamente, vemos que sólo tenemos que verificar que nuestro reclamo para los dos pares de mapas de $(\iota(f), \pi(f))$$(-\Omega f, \iota(f))$.

De todos modos, un paso clave en el acabado de la prueba: necesito que el derecho del triángulo de los desplazamientos y el triángulo izquierdo de viajes de hasta homotopy en el siguiente diagrama.

                                

Mi pregunta es, ¿cuál es la manera más fácil de ver que los dos triángulos conmutar hasta homotopy? Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, se demuestra que el derecho triángulo viajes de hasta homotopy. Teniendo en cuenta la secuencia de fibra$$F(f) \overset{\pi(f)}{\to} X \overset{f}{\to} Y,$$we want to show that the inclusion of the strict fiber of $\pi(f)$ into its homotopy fiber $F(\pi(f))$ is a homotopy equivalence making the right triangle commute, where$$\iota: \Omega Y \to F(f), \text{ }\iota(\gamma) = (x_0, \gamma) \in F(f) = X \times_Y PY.$$The strict fiber of $\pi(f)$ is the subset of $F(f)$,$$(\pi(f))^{-1}(x_0) = \{(x_0, \gamma) : \gamma(0) = y_0,\,\gamma(1) = f(x_0) = y_0\} \cong \Omega Y,$$and the composite $\Omega Y \F(\pi(f)) \F(f)$ is$$\gamma \mapsto (\iota(\gamma),\,\text{constant path at the basepoint of }F(f)) \mapsto \iota(\gamma).$$The inclusion of the strict fiber $\phi: \Omega Y \desbordado{\simeq} {\,} F(\pi(f))$ is a homotopy equivalence, since $\pi(f)$ es un fibration (y uso este).

Ahora, nos muestran que el triángulo izquierdo de viajes de hasta homotopy. El homotopy lo que se necesita es$$H: \Omega X \times I \to F(\pi(f)),\text{ }(\gamma, s) \mapsto ((*, (f \circ \gamma)(1 - t)|_{[0, 1-s]}), \gamma|_{[1 - s, 1]}).$$This is $\phi \circ (-\Omega f)$ at time $0$ and $i \circ \pi(f)$ at time $1$, por lo que estamos por hacer.