¿Función logística con pendiente pero sin asíntotas?

Question

La función logística tiene un rango de salida de 0 a 1, y la pendiente asintótica es cero en ambos lados.

¿Cuál es la alternativa a una función logística que no se aplana completamente en sus extremos? Cuyas pendientes asintóticas se acercan a cero pero no son cero, y el rango es infinito?

Answer 1

Inicialmente estaba pensando que hizo quieren las asíntotas horizontales en $0$ todavía; he movido mi respuesta original al final. Si en cambio quieres $\lim_{x\to\pm \infty} f(x) = \pm\infty$ entonces, ¿funcionaría algo como el seno hiperbólico inverso? $$ \text{asinh}(x) = \log\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) $$

Esto no tiene límites, pero crece como $\log$ para grandes $|x|$ y se parece a

Me gusta mucho esta función como transformación de datos cuando tengo colas pesadas pero posiblemente ceros o valores negativos.

Otra cosa buena de esta función es que $\text{asinh}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ por lo que tiene una derivada simple y agradable.

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Respuesta original

$\newcommand{\e}{\varepsilon}$ Dejemos que $f : \mathbb R\to\mathbb R$ sea nuestra función y asumiremos $$ \lim_{x\to\pm \infty} f(x) = 0. $$

Supongamos que $f$ es continua. Fijar $\e > 0$ . A partir de las asíntotas tenemos $$ \exists x_1 : x < x_1 \implies |f(x)| < \e $$ y análogamente hay un $x_2$ tal que $x > x_2 \implies |f(x)| < \e$ . Por lo tanto, fuera de $[x_1,x_2]$ $f$ está dentro de $(-\e, \e)$ . Y $[x_1,x_2]$ es un intervalo compacto por lo que por continuidad $f$ está acotado en él.

Esto significa que cualquier función de este tipo no puede ser continua. ¿Podría algo como $$ f(x) = \begin{cases} x^{-1} & x\neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases} $$ ¿trabajo?

Answer 2

Podrías simplemente añadir un término a una función logística :

$$ f(x; a, b, c, d, e)=\frac{a}{1+b\exp(-cx)} + dx + e $$

Las asíntotas tendrán pendientes $d$ .

Este es un ejemplo con $a=10, b = 1, c = 2, d = \frac{1}{20}, e = -5$ :

Answer 3

Voy a convertir el comentario en una respuesta. Sugiero $$ f(x) = \operatorname{sign}(x)\log{\left(1 + |x|\right)}, $$ que tiene una pendiente que tiende a cero, pero no tiene límites.

editar por demanda popular, una parcela, para $|x|\le 30$ :