Si$A$ es denso en$\Bbb Q$, entonces debe ser denso en$\Bbb R$.

Question

He a$A$ es un subconjunto de a$\mathbb{R}$. Si $A$ es denso en $\mathbb{Q}$, entonces debe ser denso en $\mathbb{R}$. Estoy confundido porque $A$ es denso en $\mathbb{Q}$. ¿Eso implica que entre dos números racionales, existe un número real? Entiendo que para que algo sea denso en $\Bbb R$, debe existir algo que se encuentra entre dos números reales. Sin embargo, ¿cómo saber que algo es denso en $\mathbb{Q}$ demostrar que debe ser denso en los reales? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$A$ es denso en $\mathbb{Q}$ si para cualquiera de los dos racionales $q_1 < q_2$ hay algo de $a\in A \cap \mathbb{Q}$ tal que $q_1<a<q_2$. El diádica racionales sería un ejemplo. Aquí está la manera de pensar acerca del rompecabezas de las densos conjuntos. Si me das dos reales $r_1$ e $r_2$ puedo encontrar una $q_1$ entre ellos? Sí. Por qué? debido a $\mathbb{Q}$ es denso es $\mathbb{R}$. Puedo encontrar dos valores? $q_1$ e $q_2$ entre $r_1$ e $r_2$? Porque si yo pudiera encontrar dos... entonces yo podría aprovechar la densidad de $\mathbb{Q}$ para terminar el trabajo.

Nos da dos reales y, a continuación, nos encontramos con $q_1,q_2$ entre los reales y, a continuación, nos encontramos con algunos $a\in A$ entre medio de estos racionales. Dicho todo lo anterior tenemos la siguiente desigualdad: $$r_1<q_1<a<q_2<r_2$$

Answer 2

Ya que $A$ es denso en $\Bbb Q$ así que $\overline A \cap \Bbb Q = \Bbb Q \subseteq \overline A.$ Entonces $\Bbb R = \overline {\Bbb Q} \subseteq \overline A \subseteq \Bbb R.$ por lo tanto $\overline A = \Bbb R.$ Esto muestra que $A$ es denso en $\Bbb R.$

Answer 3

¿Implica eso que entre dos números racionales, existe un número real?

Bueno, si $a$ y $b$ son racionales distintos, entonces $(a+b)/2$ es un número real que está entre ellos. También es racional. Y, si quieres un número irracional entre ellos, toma algo como $a+(b-a)/\sqrt{2}$ .

Answer 4

Otra prueba. $A$ denso en $\mathbb{Q}$ significa que para cualquier $q\in\mathbb{Q}$ hay una secuencia en $A$ convergentes a $q$.

Deje $r\in\mathbb{R}$. Desde $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, hay una secuencia $\{q_n\}_{n=1}^\infty$ convergentes a $r$. Para cada una de las $n$, escoja una secuencia $\{a_{n,i}\}_{i=1}^\infty$ en $A$ convergentes a $q_n$. Para cada una de las $n$, elija $k_n$ tal que para todos los $i\ge k_n$ hemos $$|a_{n,i}-q_n|<2^{-n}.$$

Reclamo: La secuencia de $\{a_{n,k_n}\}_{n=1}^\infty$ converge a $r$.

Prueba: Vamos A $\epsilon>0$. Elija $N$ tal que para cada una de las $n\ge N$ hemos $$|r-q_n|<\frac{\epsilon}{2}\qquad\text{and}\qquad2^{-N}<\frac{\epsilon}{2}\ .$$ A continuación, para cada una de las $n\ge N$ hemos $$|r-a_{n,k_n}|\le|r-q_n|+|q_n-a_{n,k_n}|<\epsilon\ ,$$ consluding la prueba.

Answer 5

Otra definición de "denso" es que cada abierto barrio de $\mathbb Q$ tiene un miembro de $A$. Y mediante esa definición, queremos demostrar que todos los abiertos barrio de $\mathbb R$ tiene un miembro de $A$. Así que supongamos que tomamos un vecindario $N_1$ de $r$ en $\mathbb R$. Desde $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$, no es racional $q$ en $N_1$. Podemos tomar un vecindario $N_2$ de $q$ que es un subconjunto de a$N_1$, y no se $a$ en ese barrio, y por lo tanto $a$ será en $N_1$ así.

Básicamente, $A$ denso en $\mathbb Q$ significa que por cada $q$, no es $a$ "cerrar" a $q$, e $\mathbb Q$ denso en $\mathbb R$ significa que por cada $r$, no es $q$ "cerrar" a $r$. Así que, dado que cualquier $r$, tomamos $q$ "cerrar" a $r$, entonces tomamos $a$ "cerrar" a $q$, e $a$ es "cercano" a $r$.

Es el equivalente a "Si todo el mundo vive cerca de una escuela, y en cada escuela que está cerca de la biblioteca, entonces todo el mundo vive cerca de una biblioteca.", aunque hay algunos mas rigor en relación con el término "cierre" que ha introducido.