Círculos superpuestos que cubren el polígono

Question

Mientras trabajaba en GeoGebra me di cuenta de algo impar. Tenía un triángulo con un punto dentro y el punto estaba conectado a cada uno de los vértices. Para cada vértice había dibujado el círculo que pasa por el vértice y el punto, siendo la conexión el diámetro del círculo (ver imagen inferior).

Lo que noté es que los círculos superpuestos cubrían completamente el triángulo. Otros experimentos demostraron que esto también ocurría si el punto estaba fuera del triángulo (véase más abajo).

Más experimentos parecen demostrar que este es el caso de cualquier polígono, simple o no:

¿Esta observación es cierta o GeoGebra me ha llevado por el camino equivocado? No pude encontrar inmediatamente el resultado a través de Google.

Answer 1

La propiedad que has encontrado se reduce a lo siguiente: dado un segmento $AB$ y cualquier punto $P$ fuera de ella, entonces los círculos que tienen $PB$ y $PA$ como diámetro cubren completamente el triángulo $ABP$ . Y eso es obvio, porque esos círculos son las circunferencias de los triángulos $APH$ y $BPH$ , donde $H$ es la proyección ortogonal de $P$ en la línea $AB$ .

Answer 2

Probaremos el caso para $n=3$ y luego generalizar para un $n-$ gon.

Dejemos que $\triangle ABC$ sea un triángulo y $P$ un punto arbitrario (dentro o fuera del triángulo). Consideremos ahora las circunferencias $\omega$ y $\tau$ con diámetros $AP$ y $PB$ respectivamente. Consideremos además el punto $D\in [AB]$ , de tal manera que $PD\bot AB$ . En vitue de la inversa de Teorema de Tales $$\angle ADP=90°\implies D\in \omega \qquad\qquad \angle PDB=90°\implies D\in \tau$$ Análogamente, podemos demostrar que las intersecciones de los círculos son $P$ y tres puntos $D, E\in BC, F\in AC$ que se encuentran en los lados de los triángulos o en las extensiones respectivamente.

Obsérvese ahora que los triángulos $\triangle PBE, \triangle PEC, \triangle PCF, \triangle PFA, \triangle PDA$ y $\triangle PBD$ se inscriben respectivamente en los círculos $\omega, \tau$ y $\rho$ (con el diámetro $PC$ ). Por lo tanto, también lo es $\triangle ABC$ .

Ahora bien, una vez demostrado el caso de un triángulo, basta con separar un $n-$ gon en $(n-2)$ triángulos, que serán cubiertos por los círculos superpuestos. Así, el $n$ -gon también será cubierto $\quad\square$

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Para más información: Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX (Honsberger), páginas 79-86: Teorema de Miquel