función de densidad de probabilidad

Question

En un libro, se dice la siguiente oración sobre la función de densidad de probabilidad en el punto$a$: "es una medida de la probabilidad de que la variable aleatoria esté cerca de$a$." Cuál es el significado de este ?

Answer 1

Sería ilustrativo comparar el caso con un discreto R. V. Con una discreta R. V, el pdf se presenta la distribución de las probabilidades en puntos específicos i.e, que da la probabilidad de que el R. V toma un valor determinado. Con un continuo R. V, el pdf se presenta la distribución de probabilidades sobre un intervalo i.e, que da la probabilidad de que el R. V toma valores en un intervalo.

Matemáticamente, si $f(x)$ es el pdf de una discreta R. V - X,$f(x) = P(X = x)$. Si $f(x)$ es el pdf de un continuo R. V - X,$f(x) = P(X \le x)$.

Si $f(x)$ es la función de densidad de probabilidad de un continuo R. V, a continuación, $f(x)dx$ es la aproximación lineal a la acumulativa de probabilidad de $X$ sobre el intervalo de $[x - dx, x]$. (En el caso de integrar el archivo pdf y, a continuación, como Colin Bowers dijo anteriormente, se obtiene la función de distribución acumulativa, lo que da la exacta probabilidad acumulativa sobre cualquier intervalo arbitrario $[x - dx, x]$.

También se debe destacar que el "diferencial de probabilidad' - $f(x)dx$ también depende del intervalo de $[x - dx, x]$ y no sólo a $f(x)$. Cuán pequeño sea el intervalo debe ser, depende de la rapidez de f(x) fluctúa.Si $f(x)$ varía muy lentamente, puede tener una mayor vecindad, mientras que si se varía rápidamente, se deberá considerar la posibilidad de un pequeño barrio(para la aproximación lineal para ser razonablemente precisa).

Answer 2

El significado es que si la función de densidad de probabilidad es continua en a $a$, entonces la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ toma valores en un intervalo corto de longitud $\Delta$ que contiene $a$ es de aproximadamente $f_X(a)\Delta$. Así, por ejemplo, $$P\left\{a - \frac{\Delta}{2} < X < a + \frac{\Delta}{2}\right\} \approx f_X(a)\Delta$$ y la aproximación mejora como $\Delta \to 0$. En otras palabras, $$\lim_{\Delta \to 0}\frac{P\left\{- \frac{\Delta}{2} < X < a + \frac{\Delta}{2}\right\}}{\Delta} = f_X(una)$$ en todos los puntos de $a$ donde $f_X(\cdot)$ es continua.

"es una medida de la probabilidad de que la variable aleatoria será cerca de $a$."

Si por "cerca de $a$" queremos decir en el intervalo de $\left(a-\frac{\Delta}{2}, a-\frac{\Delta}{2}\right)$ donde $\Delta$ es algunos fijos pequeño número positivo, entonces, asumiendo que $f_X(\cdot)$ es continua en a$a$$b$, el las probabilidades de que $X$ es cerca de $a$ y cerca de $b$ son, respectivamente, proporcional a$f_X(a)$$f_X(b)$, respectivamente, y de manera que los valores de $f_X(\cdot)$$a$$b$, respectivamente, puede ser utilizado para comparar estas probabilidades. $f_X(a)$ $f_X(b)$ , respectivamente, son una medida de la probabilidad de $X$ es estar cerca de $a$$b$.

Answer 3

No es una oración significativa.

Para una variable aleatoria continua, el valor de la función de densidad de probabilidad (pdf) en un punto no nos dice nada acerca de la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentra cerca de ese punto. Esto es debido a que la variable aleatoria es continua, por lo que la probabilidad de que se evalúa a cualquier punto dado es de medida cero.

Lo que es significativo es hablar de la integral de la pdf cerca del punto de $a$, ya que esto da lugar a una probabilidad. Así que mucho mejor la frase sería:

"La integral definida de la función de densidad de probabilidad sobre un pequeño barrio de el punto de $a$ es una medida de la probabilidad de que la variable aleatoria será cerca de $a$"

Answer 4

Hay muchas versiones de ella. En el libro de texto que he utilizado, se dice que una función de densidad de probabilidad$(f(x))$ es sólo un no negativos cuya función integral de la $-\infty$$\infty$$1$.

Lo que significa más es la "Función de Distribución Acumulativa"$(F(x))$, que se define como $$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt$$ Esto muestra la probabilidad de $X\leq x$.

La probabilidad de $X=x$ no tiene mucho sentido en el caso continuo, pero a medida que el libro dice, la probabilidad de $X$ "cerca" $x$ puede ser "una especie de" descrito por $f(x)$ $$P(x_1\leq X\leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt$$ Así, mirando la gráfica de $f(x)$, usted puede obtener una idea aproximada acerca de cómo $F(x)$ aspecto que tendrá y obtener un sentido de probabilidad "de cerca" $X=a$.

Usted puede pensar en el caso discreto como simple función de continuo caso.