Estructura de módulo R izquierdo en producto tensor con anillo

Question

Si$R$ es un anillo con unidad y$M$ un módulo R izquierdo, ¿de qué manera se convierte en$R\underset{R}{\otimes}M$ un módulo R izquierdo? ¡Gracias!

Answer 1

Siempre que tenga un$S,R$ bimódulo$N$, el grupo abeliano$N\otimes_RM$ tiene una estructura de módulo de izquierda$S$ dada por

$s(n\otimes m):=sn\otimes m$.

El anillo es un bimódulo$R,R$ sobre sí mismo, por lo que esto es posible.

Y la otra cosa obvia es que si$M$ es además un$R,T$ bimódulo, entonces$N\otimes_R M$ tiene una estructura de bimódulos$S, T$ dada de la manera obvia.

Answer 2

Tenemos un teorema: si suena$R,S$,

$1)$ si$_SM_R $ a la izquierda$S$ - módulo, un derecho$R$ - módulo y$_RN$ a la izquierda$R$ - módulo luego$M \otimes_R N$ a izquierda$S$ - módulo.

$2)$ si$M_R $ a derecha$R$ - módulo y$_RN_S$ a izquierda$R$ - módulo, derecha$S$ - módulo luego$M \otimes_R N$ un derecho$S$ - módulo.

en su pregunta:$R\otimes_R M $ a izquierda$R$ - módulo si$M$ a izquierda$R$ - módulo. y en particular tenemos$R\otimes_R M \cong M$