Qué axioma de separación es necesario para la existencia del vecindario cuyo cierre es un subconjunto de otro vecindario dado

Question

Estoy buscando el más débil de la separación axioma, que da la siguiente propiedad:

Deje $A$ ser barrio de el punto de $x$. Entonces existe otro barrio $B$ de $x$, $\overline{B}\subset A$.

Pensé que $T_{3}$ sería suficiente, pero yo era capaz de obtener sólo conjunto cerrado $C$ tales $$x\in C\subset A $$

Yo podría tomar $B=Int(C)$, pero no veo que $B$ serán barrio de $x$, es decir, $x\in B$.

Si no hay separación axioma de por sí, entonces en lo que el espacio esta propiedad se mantenga? La más abstracta, la mejor.

Answer 1

Su condición es equivalente a ser regular.

Supongamos $X$ es regular. Deje $A$ ser un barrio de $x$ y supongamos, sin pérdida de generalidad que $A$ está abierto. A continuación, la regularidad nos permite elegir distintos abrir conjuntos de $U \ni x$ e $V \supset A^c$. Que es, $U \subset V^c$ donde $V$ es cerrado, por lo $\overline{U} \subset V^c \subset A$. Por lo tanto $B = U$ es el deseado barrio de $x$.

Por el contrario, supongamos $X$ tiene su propiedad. Deje $x \in X$ y deje $F$ ser un conjunto cerrado que no contengan $x$. A continuación, $A = F^c$ es un barrio de $x$. Supongamos $B$ es un barrio de $x$ con $\overline{B} \subset A$. Set $U = B^\circ$, el interior de $B$, e $V = (\overline{B})^c$. A continuación, $U,V$ están abiertos y disjuntos, $x \in U$, e $F \subset V$ desde $V^c = \overline{B} \subset A = F^c$.