Explicación de la transformación de Tschirnhausen

Question

Estoy estudiando la resolución de ecuaciones quínticas, que implica la llamada transformación de Tschirnhausen.

La idea es cancelar los coeficientes de tercer y cuarto grado mediante un cambio de variable de la forma

$$y=x^2+\alpha x+\beta$$

que, mediante una elección adecuada de los coeficientes, convertirá la ecuación quíntica

$$x^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t=0$$ en una "forma reducida principal"

$$y^5+r'y^2+s'y+t'=0.$$

El método para obtener los coeficientes de la ecuación reducida se basa en las sumas de potencias de las raíces de los dos polinomios. También se dice en algunas referencias que eliminamos $x$ de las dos primeras ecuaciones.

Mi pregunta: dada la cantidad de la transformación, esperaría que la forma reducida mapee a un polinomio en $x$ de grado diez. ¿Qué me estoy perdiendo?

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Actualización:

En mis propias palabras, la explicación es la siguiente: la transformación se cumple solo en las cinco raíces, no en todos los $x$ y es más claro escribir

$$y_k=x_k^2+\alpha x_k+\beta,k=1,\cdots5.$$ Entonces, obviamente el polinomio con raíces transformadas también es quíntico.

Para obtener esto, se puede expandir el polinomio $\displaystyle\prod_{k=1}^5(y-x_k^2-\alpha x_k-\beta)$ y eliminar los $x_k$. Los coeficientes de la expansión se obtienen por Vieta, y pueden reconfigurarse para expresarse en términos de los coeficientes originales, nuevamente por Vieta. Las sumas de las raíces hasta las tenth potencias (sumas de Newton) serán necesarias.

Answer 1

Esta transformación no es simplemente un cambio de variables a $y = x^2+\alpha x + \beta$.

En cambio, re-factoriza el polinomio como $$ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)=(y-(x_1^2-\alpha x_1-\beta))(y-(x_2^2-\alpha x_2-\beta))(y-(x_3^2-\alpha x_3-\beta))(y-(x_4^2-\alpha x_4-\beta))(y-(x_5^2-\alpha x_5-\beta)) $$ eligiendo $\alpha$ y $\beta$ de tal manera que hagan desaparecer los coeficientes deseados.

Al final, por supuesto, tendrías que recuperar cada raíz de la ecuación original resolviendo el cuadrático que define cada $y_k$.

Mira aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Bring_radical#Principal_quintic_form para tener un poco más de referencia.