suma de la serie?

Question

deje que la suma de la serie

$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1........$$

$S=\frac{1}{2}$

mi pregunta es si hay número par de términos, la suma es $0$

y si el número de términos que son impares, entonces la suma es $1$.

pero no sabemos si sus pares o impares debido a que la secuencia va al infinito.

Es la respuesta derivadas del uso de la probabilidad de obtener cualquiera de las $0$ o $1$

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Estoy haciendo una edición a esto, se puede hacer mediante el uso de la donde $i $ es de 4º de la raíz de la unidad

1. $$S=i+i^2+i^3+i^4+i^5.....$$

$$S=i-1-i+1+i-1-i+1.....$$ a continuación, $1$ puede ser resumido infinita suma de Gp que es $$S=\frac{a}{1-r}=\frac{i}{1-i}$$ simplificando obtenemos $$S=\frac{i}{1-i}\frac{1+i}{1+i}=\frac{i-1}{2}$$ y tomar la parte real de la $S=Re \big[ \frac{i-1}{2}\big]=-\frac{1}{2}$

es un camino equivocado para solucionar este problema ???

Answer 1

La solución no es "$1/2$", sino que está regularizada para darle la mitad:

$$S=\lim_{x\ \uparrow\ 1}1-x+x^2-x^3+\dots=\frac12\\S=\eta(0)=\frac12\\S=\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}n=\frac12$$

donde $\eta(z)$ es la de Dirichlet eta función y $S_n$ $n$ésima suma parcial.

Otros métodos también el rendimiento de $1/2$, pero usted está tratando con una divergentes de la serie, así que cualquier idea, como agrupaciones no tienen sentido.

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Específicamente en lo concerniente a la solución, se debe notar que la parte real de la serie es

$$-1+1-1+1-1+\dots$$

que es $-1$ veces el resultado normal. Una manera más correcta de utilizar su idea sería tomar

$$S=\Re(\lim_{x\to i}1+x+x^2+x^3+x^4+\dots)$$

desde que la serie geométrica sólo funciona para $|x|<1$, tenemos que evitar el problema de la convergencia a través de los límites. Aviso que no se puede aplicar el límite para cada término de forma individual, como se puede obtener una divergente la serie. En su lugar, usted debe calcular la serie de primera, a continuación, tomar el límite, la parte real.

Answer 2

Mira esto (Terence Tao-Analysis I): ] 1

Answer 3

Esa serie es$$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}$ $ que no tiene suma porque$$\lim_{n\to +\infty}(-1)^n\neq 0.$ $

Por lo tanto, no se permite escribir como$S=1-1+1-1+\dots$. Espero que se te aclare.

Answer 4

Esto se llama la serie de Grandi, puedes verlo aquí .

Creo que lo definió como$0.5$ en algún sentido, el promedio de todas sus sumas parciales es igual a$0.5$.

Answer 5

Para$n\geq 0$, deje$$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k.$ $

entonces

$$S_{2n}=1$ $$$S_{2n+1}=0$ $

$\implies (S_n)$ no es convergente. así

PS