Probar que$\dim(V)$ es par

Question

Sea$V$ un espacio vectorial de dimensión finita. Deje que$A_1,A_2: V\rightarrow V$ se desplace a operadores lineales tales que$A_1+A_2=-I$ donde$I$ es el operador de identidad. Además,$A_1,A_2$ no tiene valores propios negativos. Probar que$\dim(V)$ es par.

¿Cómo abordar este problema?

Answer 1

(Actualizado)

La suposición de que$A_1$ y$A_2$ viajan es superflua. Esto ya viene de$A_1+A_2=-I$.

Se asume tácitamente que el campo de tierra es${\mathbb R}$; de lo contrario,$A_1=[i]$,$A_2=[-1-i]$ sería un contraejemplo.

Ahora para la pista: muestre que$A_1$ y$A_2$ no pueden tener valores propios reales, y piense en el grado del polinomio característico: tiene que ser par.

Answer 2

$A_1 + A_2 = -I$ =>$A_2 = -I - A_1$

$ A_1A_2 - A_2A_1 = A_1(-I-A_1) - (-I-A_1)A_1 = 0 $

Por lo tanto, para cada$A_1$ hay un$A_2$ para conmutar.

Si$\lambda > 0$ es un valor propio de$A_1$ y s es un vector propio:

$A_2s = (-I-A_1)s = -(1+\lambda)s $ Entonces, si$A_1$ solo tiene valores positivos,$A_2$ solo tiene valores negativos.