Casi seguro convergencia en la ley fuerte de los grandes números.

Question

Fuerte de la Ley de los Grandes Números menudo se afirma como $$\overline{X}_n\ \xrightarrow{a.s.}\ \mu \qquad\textrm{when}\ n \to \infty$$ o $$\Pr\!\left( \lim_{n\to\infty}\overline{X}_n = \mu \right) = 1$$ para $\overline{X}_n$ promedio de $n$ i.yo.d. variables aleatorias con media de $\mu$.

Me parece que a partir de la definición, que el fin de tener una noción de "casi seguro de convergencia" debemos tener una secuencia de variables aleatorias $X_i$ en el mismo espacio de probabilidad; al mismo tiempo $\overline{X}_n$ es una variable aleatoria en el producto de la probabilidad de los espacios de la primera $n$ de la $X_i$'s. Por supuesto que podemos pensar de todos los $\overline{X}_k$'s como vivir en el $n$'th producto para $k \leq n$, pero para considerar todos los $n$, al mismo tiempo, se tendría que tener un infinito producto. Esto tendría sentido, pero parece algo complicado (infinito producto de espacios!). Así que, ¿me estoy perdiendo algo, o es esto lo que está pasando y todas las escuelas primarias de las introducciones (y wikipedia) acaba de suprimir este punto?

Edit: Ok, así que la pregunta original era un poco engañosa - y la aclaración es un poco largo, ver los comentarios de abajo, pero me decidí a publicar también como una respuesta (se solapa un poco con la aceptación de uno).

Answer 1

La independencia de las preocupaciones de variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad. Para ver esto, supongamos que $X:(\Omega,\mathcal F)\to(E,\mathcal E)$ $Y:(\Psi,\mathcal G)\to(E,\mathcal E)$ son variables aleatorias. Para mostrar que $X$ $Y$ son independientes, uno podría considerar la posibilidad de eventos tales como $$[X\in B]\cap[Y\in C]=\{\omega\en\Omega\mid X(\omega)\in B\}\cap\{\psi\en\Psi\mid Y(\psi)\C\}.$$ A menos $(\Omega,\mathcal F)=(\Psi,\mathcal G)$, esto simplemente no tiene sentido.

...$\overline{X}_n$ es una variable aleatoria en el producto de la probabilidad de los espacios de la primera $n$ de la $X_i$'s...

No en todos. La variable aleatoria $\overline{X}_n$ sólo se pueden definir en el común de la probabilidad de espacio que cada $X_n$ está definido. Para definir las sumas $X+Y$ tales como las que todos los $\overline{X}_n$ requiere, se considera $$X+Y:\omega\mapsto X(\omega)+Y(\omega).$$

Tal vez una de las necesidades infinito producto de espacios para hablar de una secuencia de yo.yo.d. Xi

No, por las razones arriba. Si uno insiste en el uso de un producto de espacio, la construcción es como sigue. Suponga que $X_i:(\Omega_i,\mathcal F_i)\to(E,\mathcal E)$, considere la posibilidad de $\Omega=\prod\limits_i\Omega_i$, $\mathcal F=\mathop{\otimes}_i\mathcal F_i$ y, para cada $i$, la variable aleatoria $Z_i:(\Omega,\mathcal F)\to(E,\mathcal E)$ definido por $Z_i(\omega)=X_i(\omega_i)$ por cada $\omega=(\omega_i)_i$$\Omega$. Entonces, si cada una de las $(\Omega_i,\mathcal F_i)$ está dotado con una probabilidad de $P_i$ de manera tal que la distribución de $P_i\circ X_i^{-1}$ no depende de $i$ e si $(\Omega,\mathcal F)$ está dotado de la probabilidad de $P=\mathop{\otimes}_iP_i$, entonces, de hecho, $(Z_i)$ es yo.yo.d. con la distribución habitual $$P\circ Z_i^{-1}=P_i\circ X_i^{-1}.$$ Uno puede encontrar este tipo de construcción fascinante. Aunque usualmente, después de un rato, la sensación de que pasa... :-) y uno se aferra a el modus operandi de la mayoría de los probabilists adoptar, en la que se considere que la naturaleza exacta de $(\Omega,\mathcal F,P)$ es irrelevante y que todo lo que cuenta son las medidas de la imagen en el espacio de destino.

Answer 2

¿Por qué necesitaríamos espacios de producto? $X_i$ 's siendo variables aleatorias son funciones medibles. Luego considere el campo$\sigma$ generado por$X_1,\cdots,X_n$. El$\bar{X}_n$ se puede medir con respecto a este campo$\sigma$ -. Por lo tanto,$\bar{X}_n$ se puede medir con respecto a$\sigma$: campo generado por$X_1,X_2,\cdots$. Creo que eso es todo lo que necesitas.

Answer 3

Una variable aleatoria $X:(\Omega,\mathcal F, P_\Omega)\to(E,\mathcal E)$ induce un canónica de la variable aleatoria $\hat{X}:(\Omega \times \Psi,\mathcal F \otimes \mathcal G, P_\omega\times P_\Psi)\to(E,\mathcal E)$ sobre el producto con alguna probabilidad de espacio $(\Psi,\mathcal G, P_\psi)$ por la precomposición $X$ con proyección. Las dos variables aleatorias $X$ $\hat{X}$ son equidistributed. Además, si $Y:(\Psi,\mathcal G, P_\Psi)\to(E,\mathcal E)$ es una variable aleatoria en $(\Psi,\mathcal G, P_\psi)$, $\hat{X}$ $\hat{Y}$ son independientes. Por otra parte esto funciona incluso si $Y=X$ - se $\hat{X}_1$ $\hat{X}_2$ componiendo con diferentes proyecciones. Esta es una "barata" para obtener yo.yo.d. variables aleatorias.

Ahora, para un par de variables aleatorias en el mismo espacio de probabilidad $(P, \mathcal P, P_P)$ (como es el caso de la me.yo.d. las variables) con valores en $(E,\mathcal E)$ puedo conseguir un mapa de$P$$E^2$. Además, bajo ciertas condiciones razonables de la imagen de este mapa es grande. (Por ejemplo, asumiendo $E$ es topológico, espacio y $\mathcal E$ es el Borel sigma-álgebra y, a continuación, suponiendo que apoya de $X$ $Y$ son todos de $E$, la imagen de este mapa es denso en $E^2$).

En este espíritu, si tengo una secuencia infinita de yo.yo.d. variables aleatorias, entonces el espacio en el que se han definido se asignan a $E^\infty$, y bajo los mismos supuestos de este mapa tendrá de nuevo una imagen grande. Esto me dice que el espacio se define en es "grande", en cierto sentido, tan grande como el infinito producto. En el hecho de que no sea "falso" ejemplo como $[0,1)$ $X_i(x)=\{i\text{th binary digit of x} \}$ que es sólo $\{0,1\}^\infty$ en el disfraz yo no conozco ninguna manera de obtener una secuencia infinita de yo.yo.d.s en cualquier otra cosa que un producto de espacio.