¿Cuál es la restricción del Potencial Gauge en los Gauges Covariantes?

Question

Uno de los calibres más comunes en los cálculos QED son los $R_{\xi}$ calibres obtenidos mediante la adición de un término $$\begin{equation} -\frac{(\partial_\mu A^{\mu})^2}{2\xi} \end{equation}$$ al Lagrangiano. Las diferentes elecciones de $\xi$ corresponden a diferentes calibres ( $\xi=0$ es Landau, $\xi=1$ es Feynman, etc.) El propagador para el campo gauge es diferente dependiendo de la elección del gauge. La elección de la galga de Landau obliga a $\partial_\mu A^\mu=0$ pero nunca he visto una declaración similar para los otros indicadores. Me gustaría saber qué restricción sobre el campo gauge producen los otros gauges covariantes. Por ejemplo, ¿cuál es la restricción sobre $A_\mu$ cuando $\xi=1,2,3,...$ etc. ¿Sigue siendo $\partial_\mu A^\mu=0$ o algo diferente (parece que debería ser diferente)?

Answer 1

I) La densidad lagrangiana QED no fijada dice

$${\cal L}_0~:=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} -m)\psi.\tag{1}$$ La densidad lagrangiana QED fijada por el gauge en el $R_{\xi}$ -calibre lee

$${\cal L}~=~ {\cal L}_0 +{\cal L}_{FP}-\frac{1}{2\xi}\chi^2 , \tag{2}$$

donde el término de Faddeev-Popov es

$${\cal L}_{FP}~=~ -d_{\mu}\bar{c}~d^{\mu}c, \tag{3}$$

y

$$\chi~:=~d_{\mu}A^{\mu}~\approx~0 \tag{4}$$

es el Condición de fijación del gálibo de Lorenz .

II) En la integral de trayectoria con $R_{\xi}$ -la condición de fijación de galgas de Lorenz (4) sólo se impone en un sentido de media cuántica. En general, la condición de fijación del gauge de Lorenz puede ser violada por las fluctuaciones cuánticas, excepto en el gauge de Landau $\xi=0^+$ donde tales fluctuaciones cuánticas se suprimen exponencialmente (en la integral de trayectoria euclidiana rotada por Wick).

III) Si introducimos un campo auxiliar de Lautrup-Nakanishi $B$ la densidad lagrangiana QED en el $R_{\xi}$ -Gauge lee

$${\cal L}~=~ {\cal L}_0 +{\cal \cal L}_{FP} +\frac{\xi}{2}B^2+B\chi \quad\stackrel{\text{int. out } B}{\longrightarrow}\quad {\cal L}_0 +{\cal L}_{FP}-\frac{1}{2\xi}\chi^2 ,\tag{5}$$

Véase. este post relacionado de Phys.SE. La ecuación de Euler-Lagrange para el $B$ -campo lee

$$-\xi B~\approx~\chi.\tag{6}$$

Como no hay entradas ni salidas externas $B$ -partículas, se puede argumentar que el $B$ -es clásicamente cero, y por lo tanto que la condición de Lorenz $\chi\approx 0$ se impone clásicamente, cf. ec. (6), independientemente del valor del parámetro gauge $\xi$ . Mecánica cuántica para $\xi>0$ la ec. (4) sólo es válida en promedio, como se ha explicado anteriormente.