Estoy tratando de averiguar si la siguiente serie converge o diverge. He pasado horas en él y no puedo resolverlo. He intentado utilizar el test de comparación, Dirichlet y Abel, pero nada de eso ha funcionado. ¿Alguna pista?
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos^2(n)}{\sqrt{n}} $$
¿Es útil usar esto y dividir la serie en dos? ¿La suma de una serie divergente y otra convergente es también divergente?
@peroxisome7, Sí. Es una versión del enunciado contrapositivo del hecho de que la diferencia de dos series convergentes es de nuevo convergente.
@peroxisome Tenga en cuenta que $$\sum_{n=1}^N \frac{\cos^2(n)}{\sqrt n} =\frac12 \sum_{N=1}^N \frac{1}{\sqrt n}+\frac12 \sum_{n=1}^N \frac{\cos(2n)}{\sqrt n}$$ Ahora, la prueba de Dirichelt muestra que la segunda suma parcial del lado derecho converge. Si la suma parcial del lado izquierdo convergiera, entonces la primera suma parcial del lado derecho sería la suma (diferencia) de dos sumas parciales convergentes y, por tanto, también convergería. Dado que la primera suma parcial del lado derecho diverge, ¿qué se puede concluir?
Otro enfoque consiste en observar que entre $e^{in}, n=1,2,\dots, 7,$ al menos uno de estos puntos se encuentra en el arco $\{e^{it}: t\in (-\pi/4,\pi/4)\}.$ Así,
$$\sum_{n=1}^{7} \frac{\cos^2 n}{\sqrt n} \ge \frac{1}{ 2}\frac{1}{\sqrt 7}.$$
Lo mismo ocurre con $n=8,\dots,14.$ etc. Por lo tanto, la serie en cuestión es al menos
$$\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{ 2}\frac{1}{\sqrt {7m}} = \infty.$$
Tenga en cuenta que esta idea funcionará si $\cos^2 n$ se sustituye por $|\cos n|^p$ para cualquier $p>0$ .
(+1) Recuerdo haber utilizado este truco para resolver una pregunta anterior en el sitio. Bajo su apariencia de sencillez, es realmente bastante potente.
@zhw. En la medida en que al menos uno de los puntos $1,2,\dots, 7$ se encuentra en ese arco, $\cos^2(n)\ge 1/2$ para dicho punto. Entonces, $\sum_{n=1}^7 \frac{\cos^2(n)}{\sqrt n}\ge \frac1{2\sqrt 7}$ ¿No es así?
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Oye, ¿puedes mostrar lo que hiciste para la prueba de comparación de Abel?