[Edit: movido al frente] Para que $(H,b)$ pares, donde $H$ es un Hamiltoniano y $b$ es una base, podemos escribir:
$$\langle b_f\vert e^{-iHt/\hbar}\vert b_i\rangle=\int_{b(0)=b_i}^{b(t)=b_f} \mathcal{D}b(t)\, e^{iS[b(t)]},\tag{2}$$
donde $S$ es real?
De fondo
La derivación de la ruta integral de la noción estoy familiarizado con el producto de la siguiente manera. Nos gustaría evaluar el propagador:
$$G(m,n,t)=\langle n\vert U(t)\vert m\rangle. $$
Para algunos gran número $N$, nos rompen el tiempo de evolución de $0$ $t$a $N$ piezas. Para la anotación de la claridad, definir:
$$W:=U\left(\frac{t}{N}\right),$$
así que:
$$G(m,n,t)= \langle n\vert W^N\vert m\rangle.$$
Ahora, lo que denota los elementos de la matriz de $W$$W_{ij}$, podemos escribir:
$$G(m,n,t)=\sum_{j,k,\ell,\dots}\underbrace{W_{nj}W_{jk}W_{k\ell}\cdots W_{\ell m}}_{\text{N times}}.$$
Por lo tanto hemos escrito $G$ sumando más de "historias" $\{j,k,\ell,\cdots\}$, con un producto de $W$'s elementos de la matriz que se asigna a cada historia. [editado para añadir la siguiente Qmechanic la respuesta:] Suponiendo que el $W_{ij}$'s son todos distintos de cero, podemos definir $s_{ij}=-i\log W_{ij}$, y escribir:
$$G(m,n,t)=\sum_{i(t)\in\{\text{hists}\}}\exp\left(i\sum_{t}s_{i(t+1),i(t)}\right),$$
donde ahora se $s_{ij}$ tiene la interpretación de que el incremento de la acción. Tenga en cuenta que nada en nuestro análisis hasta ahora ha implicado que $s$ es real.
Para el caso particular de trabajo en la posición de base con un Hamiltoniano de la forma $$H=p^2/(2m)+V(q),$$ a gaussian integral may be used to show that (as $N\to \infty$):
$$W_{ij}=\mathcal{N}e^{iF_{ij}},\tag{1}$$
con $F_{ij}$ real, lo que significa que si nos absorber la normalización en la definición de la ruta integral de la $s$'s son reales.
Esta es una especie de extraño. A destacar, lo que hemos encontrado es que no se que $W$ es unitaria o cualquier agradable condición como esa. Hemos encontrado que todas las entradas de $W_{ij}$ tienen el mismo valor absoluto. Yo no esperaría que esta propiedad se mantiene bajo un unitaria de cambio de base.
Es no obvio para mí la forma general de este resultado es (mi sospecha es que definitivamente no se mantiene en "la mayoría" Hamiltonianos/bases). Para que Hamiltonianos/elección de las bases de estos elementos de la matriz de puro fases, y hay una simple o de manera física para ver que esto debe ser así?
Contraejemplos
No creo que (1) y (2) deben ser satisfechos en cualquier base para la elección de la $H$. Voy a tratar de argumentar esta presentando 3 ejemplos, en orden decreciente de mi confianza en ellos.
Primero considere el $H=0$. En este caso, $W_{x,x'}$ es distinto de cero al $x=x'$, y cero cuando se $x\not =x'$. Esto muestra que (1) no puede ser satisfecha, y, de hecho, el $s$'s no puede incluso ser definido. Por lo tanto, creemos que no $S$ existe para hacer (2) verdadero.
Podemos también escribir algo patológico como:
$$H=\lambda\vert x=1\rangle\langle x=0\vert +\text{h.c.},$$
que, a mis inexpertos ojos, parece $W_{0,0}$, $W_{0,1}$, y $W_{2,3}$ tendrán diferentes magnitudes. De nuevo (1) no puede ser satisfecha.
Alternativamente, se puede considerar un aspecto normal de Hamilton:
$$H=\frac{p^2}{2m}+E_0\log\left(1+\frac{x^2}{x_0^2}\right),$$
pero tenga en cuenta los elementos de la matriz de $W$ en el impulso de la base. Haciendo el mismo Trotter fórmula truco y la evaluación de la integral sobre la $x$ esta vez da un resultado que creo que es no de la forma $$W_{p,p'}=\mathcal{N}e^{iF(p,p')}$$ with $F$ real. I believe this because plugging in different values of $p$ and $p'$ numerically changes $\vert W_{p,p'}\vert ^2$.
De forma genérica, para un separables local de Hamilton $H(q,p)=K(p)+V(q)$, un espacio de la fase de ruta integral puede ser definido, y la posición en el espacio integral puede ser recuperado mediante la integración de salida $p(t)$. Espero que sólo en el caso de $K$ cuadrática hacemos para recuperar una posición en el espacio integral cuyo argumento es de la forma$e^{iS}$$S\in\mathbb{R}$, y de forma genérica, el resultado podría haber una variación de valor absoluto. Creo que esto proporciona alguna evidencia de que "representable como una real acción de la ruta integral wrt una determinada base" es un bastante fuerte restricción en Hamiltonianos.
